2019-2020年高三数学第二轮复习函数性质学案 一、考试要求：
1．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
二 考点扫描
1、奇偶性判断：
1.1确定函数的奇偶性，一般看：①定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系。常用的方
法有：(1)利用函数奇偶性定义判断； (2)用求和(差)法判断，即看f(-x)±f(x)与0的关系；(3)用求商法判断，即看f(-x)÷f(x)与±1的关系。 1.2一般性质
① 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，
② y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, ③ 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同， ④ 偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数， ⑤ 若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
11f(x)?[f(x)?f(?x)]?[f(x)?f(?x)] ⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶
22=奇
2、单调性
2.1判断函数单调性（求单调区间）的方法：
（1）从定义入手；（2）从导数入手；（3）从图象入手；（4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手。 注：先求函数的定义域 2.2、函数单调性的证明：定义法；导数法。 2.3、一般规律
（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；
（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；
（4）单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。
（5）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性； （6）单调性是函数在某一区间的“整体”性质，因此定义中的x1、x2具有任意性，不能用特殊值代替。若求单调区间则应求“极大”区间。 3、抽象函数、函数对称性与周期性的几个结论：
周期性：若存在常数T(T≠0)，使对定义域内任意x都有f(x+T)＝f(x),则f(x)叫周期函数，
符合条件的最小正数T叫f(x)的最小正周期。
①y=f(x)的定义域为R，满足条件f(a+x)=f(b－x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称； ②定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2b－f(2a－x)，则y=f(x)关于点(a,b)对称；③若y=f(x)既关于直线x=a对称，又关于x=b（a≠b）对称，则y=f(x)一定是周期函数，
且T=2|a－b|是它的一个周期； ④函数f(x)在R上单调递增，若f(a)>f(b)，则a>b;函数f(x)在R上单调递减，若f(a)>f(b)，则a ⑤f(x+a)=f(x) (a≠0)→T=a； f(x+a)=f(x－b)——T=a+b； f(x)关于直线x=a对称，且为偶函数→T=2a f(x-a)=f(x+a) (a≠0)→T=2a； f(x-a)= -f(x) (a≠0)→T=2a； f(x-a)= -(a≠0)→T=2a； 4. 复合函数. y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的， 1)函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域； (2)单调性规律：同增异减 ； 3）奇偶性规律：:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数；若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数； 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数。 三．小题热身 1．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数 的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是 （ ）A．1 B． 2 不 C．3 D．4 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝lg(-x); (2)f(x)＝x·; (3)f(x)＝+ (4)f(x)＝+ 3．求函数的单调区间. 2?(x?0)?x?x4．判断f(x)??2的奇偶性． (x?0)???x?x四．典型例题 例1．已知g(x)是奇函数，f(x)?log2(x?1?x)?g(x)?2且f(?3)?5，求f(3) 2 例2．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x+2x-1 ①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。 ②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。 例3．（1）若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞) （2）是否存在实数a，使得f(x)=loga(ax－在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a的取值 范围；若不存在，说明理由。 2x18 例4．已知函数f(x)?3x (x?0).(1) 试确定函数的单调区间,并证明你的结论; 2x?x?1(2) 若≥1, ≥1, 证明: 例5．(xx广东理科卷19)设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间[0，7]上，只有（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间[－xx，xx]上的根的个数，并证明你的结论. 五．强化训练 1.（xx河南、广西、广东7）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ） 22 A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a+b=0 2.（1996上海文，6）若y=f（x）是定义在R上的函数，则y=f（x）为奇函数的一个充要条件为（ ） A.f（x）=0； B.对任意x∈R，f（x）=0都成立 C.存在某x0∈R，使得f（x0）+f（－x0）=0 D.对任意的x∈R，f（x）+f（－x）=0都成立 3．(xx福建卷)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。 5．(xx.全国Ⅰ)已知函数f(x)?lg1?x.若f(a)?b.则f(?a)?（ ） 1?xA．B． C． D． 6．（05天津）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________________. 7．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0 ①求证：f(0)=1②求证：y=f(x)是偶函数 ?x2?x?4 , x?0,??x8（理科）已知函数f(x)?? 2? ?x?x?4, x?0.?x?(1) 求证: 函数是偶函数; (2) 判断函数分别在区间、上的单调性, 并加以证明; (3) 若, 求证: . 9．（理科）函数在上是增函数，求的取值范围． 江苏省赣马高级中学高三数学《函数性质》作业 1．(xx年高考·江西卷·理13文13)若函数f(x)?logn(x?x2?2a2)是奇函数，则a= 2．（xx·宁夏）设函数为奇函数，则（） A．0 B．1 C． D．5 3．（xx福建）定义在R上的偶函数满足，当时， 则（ ） A．f(sin) C．f(cos) 则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（xx·湖南）若与在区间上都是减函数，则的值范围是（ ） A． B． C．（0，1）D． 26．（xx·湖北）函数f(x)?a?loga(x?1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值 为（ ）A． B． C．2 D．4 7． (xx年高考·上海卷·理13文13)若函数，则该函数在上是（ ） A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值 8．设f（x）的定义域为关于坐标原点对称的区域，则f（0）＝0是f（x）为奇函数的（） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 9．设f（x），则f（0）＝0是f（x）为奇函数的 （） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 10．函数是奇函数的充要条件是( ) 22 A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a+b=0 11． 的递增区间是_____________。 12．函数 （ ） （A）是奇函数，不是偶函数 （B）是偶函数，不是奇函数 （C）既不是偶函数，也不是奇函数 （D）既是偶函数，又是奇函数 13．定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的 奇偶性并证明。 2 14．(xx浙江卷)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＋2x． (Ⅰ)求函数g(x)的解析式； (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|； (Ⅲ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围． 14．已知函数f(x)?sin(x??)?cos(x??)的定义域为R. (1) 当时, 求的单调递增区间; (2) 设, 若为偶函数, 求的值. 湖北省黄冈中学xx届高三第二轮复习数学第 《函数》学案 一、考试要求： 1．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 二 考点扫描 1、奇偶性判断： 1.1确定函数的奇偶性，一般看：①定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系。常用的方 法有：(1)利用函数奇偶性定义判断； (2)用求和(差)法判断，即看f(-x)±f(x)与0的关系；(3)用求商法判断，即看f(-x)÷f(x)与±1的关系。 1.2一般性质
2019-2020年高三数学第二轮复习函数性质学案
