第五专题 矩阵的数值特征
(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)
一、行列式
已知 Apxq, Bqx p,则 |lp+AB| = |l q + BA| 证明一： 参照课本 194 页，例 4.3.
证明二：利用 AB 和 BA 有相同的非零特征值的性质； 从而 lp+AB ，lq+BA 中不等于 1 的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于 1。
行列式是特征值的乘积，因此
|Ip+AB|和|Iq+BA|
等于特征值(不等于 1)的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹
矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在 许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都 有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹 的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn
定义： 性质：
tr(A) a
ii i
， etrA=exp(trA)
i 1 i 1
1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；
2. tr(A ) tr(A) ； 3. tr(AB) tr(BA) ；
1
T
4. tr(P 1AP) tr(A) ；
5. tr(x Ax) tr(Axx ),x 为向量； nn 6. tr(A)
i i 1 i 1
HH
k
,tr(A )
i
k
;
从 Schur 定理(或 Jordan 标准形) 和(4)证明；
7. A 0,则 tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是 A=0； 8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成
立的充要条件是 A=B( A B
i
(A)
i
(B) )；
k
9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A=0, 则 tr(A)=0 (从 Schur 定理或 Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式
对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A B)是m x n
H
维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两 个
mn 维列向量的内积， 利用 Cauchy-schwarz 不等式
[x,y] w [x,x]. [y,y]
得
定理：对任意两个 mx n 复矩阵 A 和 B
2
|tr(A B)|w tr(冲A) ? tr(BB)
H
2
H
这里等号成立的充要条件是 A=cB,c为一常数。
特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时
0弓tr(AB)| 览r(A 2)Jtr(B 2)
定理：设A和B为两个n阶Hermite阵，且A>0?
B>0 贝U
0< tr(AB) i(B)tr(A) < tr(A). tr(B)
2i(B)表示
B的最大特征值。
证明：
tr(AB)= tr(A 1/2BA1/2) >Q 又因为
A[ MB)I-B]A >Q 所以 ^B)tr(A)承
1/2
1/2
1/2
BA,得
1/2
tr(AB)= tr(A BA) <( MB) A)
=MB) tr(A) < trA) - tr(B)
推论：设A为Hermite矩阵，且A>0，贝U tr(A)tr(A -1
1/21/2
)初
另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考 《矩阵论中不等式》。
三、矩阵的秩
矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的 它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩 阵秩的一些性质和不等式。
第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习
