第四讲 平面几何部分
知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2?a:b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
aS1S2bABS△ACD?S△BCD；
反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
CD⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)
DAADEEB
图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
CBC
DAS2BAS2aS1OS3BbCS4D①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①S1:S3?a:b
22S1OS3S4C②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?．
2
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
AEAFDDB①
FGEC
BGC
ADAEDEAF； ???ABACBCAG22②S△ADE：S△ABC?AF:AG．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边
AEOF之间提供互相联系的途径.
BCD典型例题
【例 1】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多
少？
AHDEGBFC
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与
P点连接,求阴影部分面积． ADA(P)DPBC
【例 2】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB?8，AD?15，四边形EFGO的面积
为 ．
BC
ADOEBFGC
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE?2ED，则阴影部分的面积为 ．
AOBED
【例 3】 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求
阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)
C
A甲乙IJMBNH丙EDF
【例 4】 如图，已知CD?5，DE?7，EF?15，FG?6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边
部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 ．
ACCDBEFG
【例 5】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△ADE?16平方厘米，
求△ABC的面积．
ADEBC
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形
ABC的面积是多少？
六年级奥数-第4讲.几何-平面部分.学生版
