2024年高考数学椭圆二轮复习专项微专题核心考点突破
答案解析与方法点睛
考点分析 1专题综述
椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，是解析几何的核心内容之一，椭圆在解析几何中起着承前启后的作用，同时也是历届高考命题的热点和焦点.笔者统揽近三年高考数学全国卷和各省市卷，高考对椭圆部分的考查大都聚焦在以下三个方面:其一，考查椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质；其二，考查直线与椭圆的位置关系；其三，考查椭圆相关的综合问题(定点、定值、最值及范围问题).解析几何是以坐标为桥梁，用代数知识来研究几何问题是其本质特征.将椭圆与平面几何、向量、函数、数列、不等式、导数等知识融合命制考题，既广泛而深入地考查了数形结合、转化与化归、分类整合、函数与方程等数学思想以及灵活运用椭圆知识观察、分析和解决问题的能力，同时又对考生的几何直观、逻辑推理和数学运算等素养提出了较高的要求.下面主要以高考试题为例，对椭圆相关的考点举例阐述，以期对今年高考复习有所帮助. 典型例题 2考点剖析
2.1椭圆方程及其几何性质
求动点的轨迹或是轨迹方程是圆锥曲线的常见问题，椭圆也不例外，一般设置在第一问.这要求学生能熟练地使用常用的方法:直接法、定义法、相关点法、交轨法和代换法，另外，几何性质的灵活运用也往往起到事半功倍之效.一般求解步骤是:建系一设点一坐标代换一化简一检验.注意求轨迹方程和求轨迹应是两种不同的结果表述，前者是方程，后者是图形. 例1设圆
的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，
为定值，并写出点E的轨迹方程.
过B作AC的平行线交AD于点E.证明
思路探究:妙用几何性质，因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC. 所以
，故
.
，所以|EA|+|EB|=4.
，由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为:
.
又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而由题设得A(－1，0)，B(1，0)，
方法点睛:求椭圆方程的常用方法，(1)直接法，直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)=0；(2)待定系数法，已知所求曲线的类型，求曲线方程一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法，先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)
代入转移法，动点P(x，y)依赖于另一动点先用x，y的代数式表示例2已知椭圆
，再
的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可
代入已知曲线得出要求的轨迹方程. 的左、右顶点分别为
，且以线段
为直径的圆与直线
bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( ) A．
B．
C．
D．
思路探求:以线段为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a，圆的方程为
，整理可得
，直线bx-ay+2ab=0
，即a2=
与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
，
从而
，椭圆的离心率
，故选A.
方法点睛:椭圆的几何性质是高考命题不可或缺的考点，将椭圆的几何性质与其他知识，如切线、斜率等融合、交汇，常常命制出玲珑别致，又不失新颖的客观题，而且时常作为客观题的压轴题.一般求离心率e的方法有:(1)整理出椭圆的标准方程后可直接求出a，c，再利用离心率公式利用椭圆第一定义得
来求解；(2)在焦点三角形中
求解；(3)根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造a，c
的等式(特别是齐二次式)，进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e 2.2直线与椭圆的位置关系
在函数与方程思想的统领下，直线与椭圆的位置关系重点考查以下内容:其一，直线与椭圆的位置关系；其二，直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线的方程；其三，直线与椭圆相交，被直线截得的弦长等问题.直线与椭圆的位置关系常用的判断方法有:代数法和坐标变换法.直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线方程常用求法有:韦达定理法、点差法、直线参数方程法和对称设点法；直线与椭圆相交，求直线被截得的弦长常用求解方法有:韦达定理法、过焦点弦长公式(利用椭圆第二定义)以及利用过椭圆上一点的切线方程等方法. 例3过椭圆
内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程.
思路探求1:直线和椭圆相交求中点弦所在的直线方程.将直线方程代入椭圆方程，整理后利用韦达定理，求出直线的斜率. 解法
1:设所求直线的方程为y－1=k(x－2)，将其代入椭圆方程并整理得
.
又设直线与椭圆的交点为，则是方程的两个根，于是.
又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为x+2y－4=0.
思路探求2:利用点差法，根据椭圆弦中点的性质求出直线的斜率，再用点斜式得出直线方程. 解法2:设
，则
，
①－②得，，，
即，故所求直线方程为x+2y－4=0.
的不平行于对称轴的弦，
为AB的中点，则
方法点睛:AB(不过原点)是椭圆
，即.
思路探求3:将直线的参数方程代入椭圆方程整理后利用韦达定理，根据中点所对应参数的几何意义，求出直线的斜率.
解法3:设所求直线的参数方程为代入椭圆方程
并整理得
，
.
是A，B对应的参数，M为AB的中点，所以t1+t2=0，
又设直线与椭圆的交点为A，B，则方程的两个根
，解得
方法点睛:设所求直线的参数方程为方程的两个根
，即为直线的斜率，故所求直线方程为x+2y－4=0
(t为参数)代人椭圆方程并整理得t的一元二次方程，该
，求得直线斜率.
是A，B对应的参数，M为AB的中点，由
思路探求4:利用中心点坐标设弦端点的坐标，代入椭圆方程相减后直接得出直线方程. 解法4:整理椭圆方程为
，设A(x，y)，B(4－x，2－y)，则有
③－④得x+2y－4=0，即是中点弦所在的直线方程.此种方法较为简便. 方法点睛:整理椭圆方程为
(m>0，n>0，m≠n).设A(x，y)，
，
，
⑤－⑥得
就是中点弦所在的直线方程.
思路探求5:将弦的两个端点坐标设为对称形式，可以快速得出中点弦所在直线的斜率，解题时若能充分利用这些结论，则可以轻松、准确地解决“中点弦”的有关问题. 解法5:整理椭圆方程为
.
由题意可设A(2+m，1+n)，B(2－m，1－n)，则有
，
以上两式相减得4m+8n=0所以，
.
故AB的直线方程为y－1=－(x－2)，整理得x+2y－4=0. 方法点睛:点M是线段AB的中点，设趣的结论:例4设椭圆
，
.
，求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a，k表示).
，
，有两个非常简单有
思路探求:椭圆被直线截得的弦长，即直线与椭圆相交的两个交点的距离.直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，利用两点间距离公式得到弦长公式
(直线斜率k存在).进一步应结合韦达定理解决问题.
解:设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP，由得，
故因此
.
.
方法点睛:直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，即得到弦长公式
，
.
2.3与椭圆相关的综合问题
在数形结合思想统领下椭圆的综合问题主要考查以下内容:斜率和离心率范围、定点问题、定值问题和最值问题等.定点、定值一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的问题以及与椭圆有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.椭圆中最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或椭圆中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.椭圆的探索性问题主要体现在以下方面:(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，涉及这类命题
的求解主要是研究直线与椭圆的位置关系问题. 例5已知椭圆(I)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设P在椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证:
为定值.
的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1
思路探求:本题要证明的当点P在椭圆C上运动变化时|AN|?|BM|为定值，显然，引起运动变化的根源是点P.因此，将点
设为参数，将
用
表示，再利用点P在椭圆上进行减元、消参，进而
证明定值与参数的变化无关. 解:(I)椭圆的方程为
.
，则.
.
(Ⅱ)由(I)知，A(2，0)，B(0，1)，设当x≠0时，直线PA的方程为令x=0，得从而
直线PB的方程为令y=0，得从而所以
.
当综上，
时，
为定值.
.
. .
.
.
，所以.
当然，由于本题是证明|AN|?|BM|为定值，也可以先通过特殊位置，例如点P为椭圆左顶点时获得定值4，然后进行推理运算，目标更为明确. 方法点睛:定值问题的解题步骤如下
第一步，引入参数.一般情况下，这些参数包括点的坐标、直线的斜率、截距、夹角等； 第二步，根据题意建立包含参数的等量或不等量关系；
第三步，通过推理、计算探索出定值.这是定值问题的关键步骤，对运算能力、思维能力、几何直观能力要
2024年高考数学椭圆二轮复习专项微专题核心考点突破答案解析与点睛(37页)
