三、符号说明
W：方案的经费
a：A厂到铁路的距离
b：B厂到铁路的距离
c: A厂到城郊分界线的距离
l: A、B两厂之间的铁路长度
m：共用管道的费用（万元/千米）
n：非共用管道费用（万元/千米）
L: 为管线总长度
h：共用管线的长度
x1：车站的横坐标（问题二）
y1：城郊分界处拐点的纵坐标（问题二）
x2：共用管线和非共用管线交点的横坐标（问题三）
y2：城郊分界处拐点的纵坐标（问题三）
p：附加费用的估计值。
四、问题分析
问题一：首先要考虑两个工厂是否在铁路的同一侧，如果两个工厂在铁路的同
一侧那么一定要考虑共用管线的问题。如果不在铁路的同一侧那么就没有必要考
虑共用管线这个问题。当两个工厂在铁路两边时，根据两点之间线段最短的原理
只要求出两厂之间的距离，就可以得到最低费用设计；当两个工厂在铁路的同一
侧时，且当没有共用管线时，只需利用光的传播原理可得到最短路径；在考虑到
有共用管线时，需建立方程求解最低消费设计方案。 问题二：这个问题从市区和郊区分两个部分分析，火车站建立在郊区费用要少；因为郊区非共用管线与共用管线的费用相同，所以可以用最短路径的方法来考虑，同时又要求费用最小，可以通过方程解出最低费用及对应的铺设线路。
问题三：通过建立坐标系设两个点的坐标，同时也是表示出管线的长度，然
后再与各自的费用之积确定总的费用，从而算出两点的坐标值。即确定了管线的
路线。
五、模型的建立与求解
5.1关于问题1的模型建立与求解
对于管线布置的分析，分为两种情况： 1、两个炼油厂在铁路两侧，如图所示： B b C E a D l A
两炼油厂A,B直接的连线与铁路的交点E为车站位置 此时L=(a?b)2?l2 此时为最低费用设计方案。
2、两个炼油厂位于铁路的同一侧,则需考虑有无共用管线两种情况： a.当没有公用管线时，此时找出两厂与铁路交点连线的最近路线即可，如图：
B A b a C E a D l A’
过铁路CD作A点的对称点A’，连接A’B，与铁路相交于点E即为车站所在位置，此时L=(a?b)2?l2 此时为最低费用设计方案。 b．当存在共用管线时：
A、当共用管线与非共用管线价格相同，均为m时： 设计方案如图所示
Y B A x a X E l 2x h F b C D
假设公共管线长度为h；（0＜h＜b）
x=a-h （1） L=(x?b)2?l2+h （2）
L=(a?h?b)2?l2+h （3） W=Lm=m*(a?h?b)2?l2+m*h （4）
当实际情况下已知a，b，l的情况下，上式只存在一个未知数h，再结合h的范围即可得出最低费用的设计方案。
B、当共用管线价格为m，非共用管线价格为n；（n＜m＜2n） 设计方案如图所示：
B A F b a x E C l h D
W=h*m+n*(a?h)2?x2+n*(b?h)2?(l?x)2 其中： 0＜x＜l； 0＜h＜b；
实际情况下的费用可以根据已知道的常量a、b、l再结合x、h的取值范围可以得出最小费用。
5.2关于问题2的模型建立与求解
因为在城区和郊区铁路管线的费用相同，而在城区有拆迁和工程补偿等费用，所以城区和郊区要分为两部分来考虑。我们从三家咨询公司给出的三个方案来看，我们考虑到甲级资质和乙级资质的评估准确性，所以我们对三家公司进行分权，甲级资质的权重为40%，乙级资质的权重为30%
所需要的附加费预估值为p=0.4*21+0.3*24+0.3*20=21.6(万元/千米)
由于城区管线铺设所花费的费用比较大 ，所以车站站点建设在郊区才是相
对节约经费的。
我们根据共用管线与非共用价格相同设计出如下图所示模型：
Y B G（5，y1） A F（x1，h） 8 x 2x 5 h X C E 15 20 D
如上图所示建立坐标系，在城区部分我们可以得到每千米铺设管线费用为21.6+7.2=28.8万元。
W=7.2*（h+(y1?5?2x)2?152）+28.8*(8?y1)2?52 （1） x=5-h （2） W= 7.2*（h+(y1?5?2h)2?152）+28.8*(8?y1)2?52 （3） 其中 0＜h＜8 0＜y1＜8
利用C++程序编辑器编辑程序求解：
最小费用W=283.201万。
5.3关于问题3的模型建立与求解
数学建模之输油管的布置
