第24届全国中学生物理竞赛决赛试题及详细解答

?(U1?U2)C0?U1C1?(U0?U1)C0?(U0?U1)C2?0,??(U2?U3)C0?U2C1?(U1?U2)C0?(U0?U2)C2?0, （9） ?UC?UC?(U?U)C?(U?U)C?0.31230032?30

四个绝缘子上的电压之和应等于U0 ，即

( U0－U1 ) + ( U1－U2 ) + ( U2－U3 ) + U3 = U0 ． （10）

设

△U1 = U0－U1 ， △U2 = U1－U2 ，△U3 = U2－U3 ，△U4 = U3 ， （11） 则可由（9）式整理得

C1

C1 C1 C1

U3 U2 U1

C0 C0 C0 C0

C2 C2

C2

U0 C2

?△U1(C0?C1?C2)?△U2C0?U0C1?0,? ?△U1(C1?C2)?△U2(C0?C1?C2)?△U3C0?U0C1?0,?△U(C?C?C)?△U(C?C?C)?△U(2C?C?C)?U(C?C)?0;101220123012001?代入数据，得

?76△U1?70△U2?5U0?0,? （12） ?6△U1?76△U2?70△U3?5U0?0,?76△U?76△U?146△U?75U?0.1230?解（12）式，可得

△U1 = 0.298 U0 ， △U2 = 0.252 U0 ，△U3 =0.228 U0 ． （13）

由（10）～（12）式可得

△U4 =U3 = 0.222 U0 ． （14）

以上结果表明，各个绝缘子承受的电压不是均匀的；最靠近输电线的绝缘子承受的电压最大，此绝缘子最容易被击穿．当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值

△U1 =Ue （15）

时，此绝缘子被击穿，整个绝缘子串损坏．由（8），（13）和（15）三式可知，绝缘子串承受的最大电压

11

U0max =

Ue

= 369 kV ． （16） 0.298

y G

五、

1．如图所示，位于坐标y处的带电粒子P受到库

仑力FE为斥力，其y分量为

FEy = k

QqQqy

， （1） 2 sinθ = k 2r( d + y2)3 / 2P

FEy mg

r

A

x

式中r为P到A的距离，θ为r与x轴的夹角．可以看出，FEy与y有关：当y较小时，（1）式分子中的y起主要作用，FEy随y的增大而增大；当y较大时，（1）式分母中的y起主要作用，FEy随y的增大而减小．可见，

O

d

FEy在随y由小变大的过程中会出现一个极大值．通过数值计算法，可求得FEy随y变化的情况．令?= y / d ，得

FEy = k

?Qq

． （2） 2 d( 1 +?2)3 / 2－3 / 2

当?取不同数值时，对应的?( 1 +?2)1所示．

的值不同．经数值计算，整理出的数据如表

表1

? 0.100 0.500 0.600 0.650 0.700 0.707 0.710 0.750 0.800 ?( 1 +?2)－3 / 2 0.0985 0.356 0.378 0.382 0.385 0.385 0.385 0.384 0.381

由表中的数据可知，当?= 0.707，即

y = y0 = 0.707d （3）

时，库仑力的y分量有极大值，此极大值为

FEymax = 0.385k

qQ

． （4） d2由于带电粒子P在竖直方向除了受到竖直向上的FEy 作用外，还受到竖直向下的重力mg作用．只有当重力的大小mg与库仑力的y分量相等时，P才能平衡．当P所受的重力mg大于FEymax时，P不可能达到平衡．故质量为m的粒子存在平衡位置的条件是

mg ≤FEymax ．

由（4）式得

0.385qQm ≤ k 2 ． （5）

gd

12

2．y (m)＞ 0.707d ；0＜y (m)≤0.707d ．

3．根据题意，当粒子P静止在y = y1处时，处于稳定平衡位置，故有

kQqy1(d2?y)3221－m1g = 0 ． （6）

设想给粒子P沿y轴的一小扰动△y ，则P在y方向所受的合力为

Fy = FEy －m1g = k

Qq ( y1 +△y )

－m1g ． （7）

[ d+ ( y1 +△y )2 ]3 / 22 由于△y为一小量，可进行近似处理，忽略高阶小量，有

Fy = k

Qq ( y1 +△y )23 / 2 －m1g [ d+ y1+ 2y△y] 1

2

= k

Qq ( y1 +△y )3y1△y

( 1 － )－m1g 23 / 2

(d2 + y1d2 + y2 )1

2

3qQy1△yQq△yQqy1 = k 2 23 / 2 + k 2 23 / 2 － k 2 25 / 2 － m1g ．

(d+ y1 )(d+ y1 )(d+ y1 )

注意到（6）式，得

22 m1g (2y1－d)

Fy = － △y ． （8）

(d2 + y2) y 11

2

因y = y1是粒子P的稳定平衡位置，故y1＞0.707d ，2y21－d＞0 ．由（8）式可知，粒

子P在y方向受到合力具有恢复力的性质，故在其稳定平衡位置附近的微小振动是简谐运动；其圆频率为

ω=

周期为

2π

T = =2π

ω

(d2 + y21 ) y1

2 (2y1－d2 ) g

g ， （9） (d2 + y2) y 11

2 (2y21－d)

． （10）

4．粒子P处在重力场中，具有重力势能；它又处在点电荷A的静电场中，具有静电势能．当P的坐标为y时，其重力势能

Wg = m2gy ，

式中取坐标原点O处的重力势能为零；静电势能

13

WE = k

粒子的总势能

qQ

． d2 + y2 W = Wg + WE = m2gy + k

qQ

． （11） d2 + y2 势能也与P的y坐标有关：当y较小时，静电势能起主要作用，当y较大时，重力势能起主要作用．在P的稳定平衡位置处，势能具有极小值；在P的不稳定平衡位置处，势能具有极大值．根据题意，y = y2处是质量为m2的粒子的不稳定平衡位置，故y = y2处，势能具有极大值，即

W ( y2 ) = Wmax = m2gy2 + k

当粒子P的坐标为y3时，粒子的势能为

W ( y3 ) = m2gy3 + k

qQd+y3

2 2

qQd2 + y22

． （12）

．

当y3 ＜ y2时，不论y3取何值，粒子从静止释放都能到达管底．若y3 ＞ y2 ，粒子从静止释放能够到达管底，则有

W ( y3 ) ＞ W ( y2 ) ．

所以，y3满足的关系式为

y3 ＜ y2 ； （13）

或者

y3 ＞ y2 且 m2gy3 + k

附：（1）式可表示为

FEy = k

QqQq2

2 sinθ = k 2 cosθsinθ ， rd

＞ m2gy2 + k

2 2d+y3qQ

qQ

2 2d+y2

． （14）

式中θ为P，A之间的连线和x轴的夹角．由上式可知，带电粒子P在 θ = 0 ，π / 2时，FEy = 0 ．在0 ≤θ ≤ π / 2区间，随着θ的增大，sinθ是递增函数，cos2θ是递减函数．在

此区间内，FEy必存在一个极大值FEymax ；用数值法求解，可求得极大值所对应得角度θ0 ．经数个计算整理出的数据如表2所示．

表2

θ / rad 0. 010 0.464 0.540 0.576 0.611 0.615 0.617 0.644 0.675 14

cos2θsinθ

0.029 0.367 0.378 0.383 0.385 0.385 0.385 0.384 0.381 由表中数值可知，当θ = θ0≈0.615 rad（即35.26°）时，FEy取极大值

FEymax = k

Qq2 Qq ． 2 cosθ0sinθ0 = 0.385 kdd2带电粒子P在竖直方向上还受到重力G的作用，其方向与FEy相反．故带电粒子P受到的合力

F = FEy －G = k

Qq2

2 cosθsinθ －mg ． d

当F = 0 ，即FEy = G 时，P处于平衡状态．由此可见，当带电粒子的质量

FEymaxk ( qQ / d2 ) cos2θ0sinθ0m ≤ = gg

时，可以在y轴上找到平衡点．

六、

1．单球面折射成像公式可写成

n′ －n n′ n + = ， （1） s′sr

式中s为物距，s′ 为像距，r为球面半径，n和n′ 分别为入射光和折射光所在介质的折射率．

在本题中，物点P经反射器的成像过程是：先经过左球面折射成像（第一次成像）；再经右球面反射成像（第二次成像）；最后再经左球面折射成像（第三次成像）．

（1）第一次成像．令s1和s′1分别表示物距和像距．因s1 = s ，n = n0 = 1 ，n′ = ng ，r = R ，有

ng －1 ng 1 + = ， （2） s′1s1R

即

s′1 =

ngRs

( ng－1 ) s－R

． （3）

（2）第二次成像．用s2 表示物距，s′2 表示像距，有

1 1 2 + = ． （4） s′2s2r

因s2 = 2R －s′1 ，r = R ，由（3），（4）两式得

( 2s + 2R －ngs )Rs′2 = ． （5）

3R + 3s －ngs

（3）第三次成像．用s3 表示物距，s′3 表示像距，有

15