2024年高考专题：数列
1．【2024年高考全国III卷文数】已知各项均为正数的等比数列?an?的前4项和为15，且a5?3a3?4a1，则a3?（ ） A．16 B．8
C．4
D．2
?a1?a1q?a1q2?a1q3?15【解析】设正数的等比数列{an}的公比为q，则?4， 2?a1q?3a1q?4a1?a1?1,2解得?，?a3?a1q?4，故选C．
?q?2，S3?2．【2024年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1?1S4=___________．
22【解析】设等比数列的公比为q，由已知S3?a1?a1q?a1q?1?q?q?3，则4312，即q?q??0. 4414)1a1(1?q)52??． 解得q??，所以S4?121?q81?(?)241?(?3．【2024年高考全国III卷文数】记Sn为等差数列?an?的前n项和，若a3?5,a7?13，则S10?___________.
【解析】设等差数列?an?的公差为d，根据题意可得
?a3?a1?2d?5?a1?110?910?9,,?S?10a?d?10?1??2?100. 得??101a?a?6d?13221?d?2?7*Sn是其前n项和.若a2a5?a8?0,S9?27，4．【2024年高考江苏卷】已知数列{an}(n?N)是等差数列，
则S8的值是__________．
?a2a5?a8??a1?d??a1?4d???a1?7d??0?【解析】由题意可得：?， 9?8d?27?S9?9a1?2??a1??58?7d??40?28?2?16. 解得：?，则S8?8a1?2?d?21
5．【四川省峨眉山市2024届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列{an}中，a3，a9是方程
x2?24x?12?0的两根，则数列{an}的前11项和等于（ ）
A．66
B．132
C．?66
D．? 32
【解析】因为a3，a9是方程x2?24x?12?0的两根， 所以a3?a9??24，又a3?a9??24?2a6，所以a6??12，
S11?11?(a1?a11)11?2a6???132，故选D.
226．【广东省深圳市高级中学2024届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列?an?中，
a1?11,an?1?an?,(n?N*)，则a2024的值为______． 2024n(n?1)1111,(n?N?)所以an?1?an???，
n(n?1)n(n?1)nn?1【解析】因为an?1?an?11111a2?a1?1?,a3?a2??,...,a2024?a2024??,各式相加，可得
22320242024111a2024?a1?1??1?，a2024?，所以，a2024?1，故答案为1.
2024202420247．【2024北京市通州区三模数学试题】设?an?是等比数列，且a2a4?a5，a4?27，则?an?的通项
公式为_______．
【解析】设等比数列?an?的公比为q，因为a2a4?a5，a4?27，
2所以a4?a2q?a52a27q?q3?27，解得q?3，所以a1?4??1， 3a4q27因此，an?3n?1，n?N?.故答案为an?3n?1，n?N?.
8．【2024年高考全国I卷文数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．
（I）若a3=4，求{an}的通项公式；
（II）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 【解析】（I）设?an?的公差为d．
2
由S9??a5得a1?4d?0．由a3=4得a1?2d?4．于是a1?8,d??2． 因此?an?的通项公式为an?10?2n．
（II）由（I）得a1??4d，故an?(n?5)d,Sn?2n(n?9)d. 2由a1?0知d?0，故Sn?an等价于n?11n?10?0，解得1≤n≤10． 所以n的取值范围是{n|1?n?10,n?N}．
9．【2024年高考全国II卷文数】已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1?2,a3?2a2?16.
（I）求{an}的通项公式；（II）设bn?log2an，求数列{bn}的前n项和．
?【解析】（I）设?an?的公比为q，由题设得
2q2?4q?16，即q2?2q?8?0．解得q??2（舍去）或q=4．
因此?an?的通项公式为an?2?4n?1?22n?1．
（II）由（I）得bn?(2n?1)log22?2n?1，因此数列?bn?的前n项和为1?3?L?2n?1?n．
210．【2024年高考北京卷文数】设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． （Ⅰ）设?an?的公差为d．因为a1??10， 【解析】
所以a2??10?d,a3??10?2d,a4??10?3d．
因为a2?10,a3?8,a4?6成等比数列，所以?a3?8???a2?10??a4?6?．
2所以(?2?2d)?d(?4?3d)．解得d?2．所以an?a1?(n?1) d?2n?12．
2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an?2n?12．所以，当n?7时，an?0；当n?6时，an?0． 所以，Sn的最小值为S6??30．
11．【重庆西南大学附属中学校2024届高三第十次月考数学试题】已知等差数列?an?的前n项和为Sn，
等比数列?bn?的前n项和为Tn．若a1?b1?3，a4?b2，S4?T2?12．
3
2024年高考专题：数列试题及答案
