函数的奇偶性
一、函数奇偶性的基本概念
1．偶函数：一般地，如果对于函数f?x?的定义域内任意一个x，都有f??x??f?x?，
f(?x)?f(x)?0，那么函数f?x?就叫做偶函数。
2.奇函数：一般地，如果对于函数f?x?的定义域内任一个x，都有f??x???f?x?，
f(?x)?f(x)?0，那么函数f?x?就叫做奇函数。
注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 f??x???f?x? 之一是否成立。 （2）在判断f?x?与f??x?的关系时，只需验证f??x??f?x??0及可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。
f(?x)=?1是否成立即f(x)f(x)?x?⑴
f(x)?x?x2，（2）
f(x)?x?x （3）
3f(x)?xx2?11xG?x??f?x??f??x?,x?R(4)
(5)f(x)?xcosx (6)f(x)?xsinx (7) f(x)?2?2，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。
（2）常见的奇函数有：f(x)?x，f(x)?x，f(x)?sinx， （3）常见的奇函数有：f(x)?x，f(x)?x，f(x)?cosx
23x?xf(x)?1x（4）若f?x?、g?x?都是偶函数,那么在f?x?与g?x?的公共定义域上，f?x?+g?x?为 偶函数，f?x??g?x?为偶函数。当g?x?≠0时，
f(x)为偶函数。 g(x)（5）若f?x?，g?x?都是奇函数，那么在f?x?与g?x?的公共定义域上，f?x?+g?x?是奇函数，f?x??g?x?是奇函数，f?x??g?x?是偶函数，当g?x?≠0时，
f(x)是偶函数。 g(x)（6）常函数f?x??c?c为常数?是偶函数，f?x??0既是偶函数又是奇函数。
（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数F?x??f?g?x??；若g?x?为偶函数, f?x?为奇（偶）函数，则F?x?都为偶函数；若g?x?为奇函数，f?x?为奇函数,则F?x?为奇函数;若g?x?为奇函数，f?x?为偶函数,则F?x?为偶函数.
题型二 三次函数奇偶性的判断
已知函数f(x)?ax?bx?cx?d，证明：（1）当a?c?0时，f(x)是偶函数 （2）当b?d?0时，f(x)是奇函数
提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如f(x)?ax?bx?c，当b?0，f(x)是偶函数；当a?c?0，f(x)是奇函数。
题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值
232 2a?，则a?b? 1函数f?x??ax2?bx?3a?b是偶函数，定义域为?a?1 ，21 ． 32设f(x)?ax?bx?2是定义在?1?a,2?上的偶函数，则f(x)的值域是 ??10,2? ． 3 已知f(x)?sinx是奇函数，则a的值为 1
(x?1)(x?a)4已知f(x)?sinxln(x?x2?a)是偶函数，则a的值为 1
提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，f(?x)?f(x),f(?x)??f(x)。 （2）因为是填空题，所以还可以用f(?1)??f(1),f(?1)?f(1)。
（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。 题型四 利用函数奇偶性的对称 1下列函数中为偶函数的是（ B ）
22?xA．y?xsinx y?x B．y?xcosx C．y?lnx D．y?2
2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A A．y?x?e B．y?x?x11x C．y?2?x D．y?1?x2 x23下列函数中，为偶函数的是（ C ） A．y?x?1 B．y?4函数f(x)?1 C．y?x4 D．y?x x1?x的图像关于（ C ） xA．y轴对称 B． 直线y??x对称 C． 坐标原点对称 D． 直线y?x对称
5已知函数f(x?1)是R上的奇函数，且f(?1)?4，则f(3)=-4 6已知函数f(x?2)是R上的偶函数，则f(?3)??3，则f(7)=-3
提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，f(?x)?f(x),f(?x)??f(x)。 (2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。 (3)在原点有定义的奇函数必有f(0)?0。
（4）已知函数f(x?t)是R上的奇函数，则f(x)关于点(t,0)对称。 (5)已知f(x?t)是偶函数，则f(x)关于直线x?t对称。 题型五 奇偶函数中的分段问题
1设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2?2x?b（b为常数），则f(?1)?-3 2已知f?x?是奇函数，且当x?0时，f?x??xx?2，求x?0时，f?x?的表达式。
xf(x)?xx?2
3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2x?x，则f(?3)=-45 4已知f?x?是偶函数，当x?0时，f(x)?x?2x，求f(?4) 24
2325设偶函数f(x)满足f(x)?2?4(x?0)，则xf?x?2??0={x|x?0或x?4}
x??提示：（1）已知奇函数f(x)，当x?0，f(x)?g(x)，则当x?0时，f(x)??g(?x)。 （2）已知偶函数f(x)，当x?0，f(x)?g(x)，则当x?0时，f(x)?g(?x)。 类型六 奇函数的特殊和性质
函数的奇偶性的经典总结
