第二章 圆锥曲线与方程
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2
B．22
C．4
D．42
x2y2
解析：双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而
482a＝4.
答案：C
2．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则其标准方程为( ) x2y2
A.－＝1 99y2x2
C.－＝1 1818
y2x2
B.－＝1 99x2y2
D.－＝1 1818
2
解析：由已知可得c＝6，所以 a＝b＝c＝32，
2x2y2
所以 双曲线的标准方程是－＝1.
1818答案：D
x2y2
3．已知双曲线－2＝1(b>0)的焦点到其渐近线的距离为1，则
3b该双曲线的离心率为( )
A.2
B.3
1
23C.
332D. 2
解析：由题意及对称性可知焦点(b2＋3，0)到bx－3y＝0的距|b2＋3·b|
离为1，即＝1，所以b＝1，所以c＝2，又a＝3，所以双2
b＋3曲线的离心率为
答案：C
x2y25
4．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C
ab2的渐近线方程为( )
1
A．y＝±x
41
C．y＝±x
2
1
B．y＝±x
3D．y＝±x
23
. 3
x2y2
解析：因为双曲线2－2＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐
abb
近线方程为y＝±x.
a
a2＋b2c
又离心率为e＝＝＝
aa
?b?25
??1＋a＝，
2??
1b1
所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
a22答案：C
2
y
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P
3
是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
1A. 3
1B. 2
2
2C. 33D. 2
解析：方法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2y2
时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，
33)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，113
所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
222
方法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，y2
代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，
3→＝(1，0)，PF→＝(0，－3)，所以AP→·PF→＝0，因为点A(1，3)，所以AP
113
所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
222
答案：D 二、填空题
x2y2
6．已知双曲线－＝1(0 n12－n为________． 解析：因为0 an 2 2 2 所以n＝4. 答案：4 x22 7．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y＝1 3的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________． 33 解析：由题意得，双曲线的右准线x＝与两条渐近线y＝±x23 3 ?33? 的交点坐标为?，±?，不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2， 2??2 1 则F1(－2，0)，F2(2，0)，故四边形F1PF2Q的面积是|F1F2|·|PQ| 21 ＝×4×3＝23. 2 答案：23 x2y2 8．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是 4k________． x2y2 解析：双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4 4－k4－k4－kc －k，e＝＝，又因为e∈(1，2)，则1＜＜2，解得－12 a22＜k＜0 答案：(－12，0) 三、解答题 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e＝ 5 ； 2 (2)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)． x2y2 解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为2－2＝1(a ab＞0，b＞0)． 92 因为双曲线过点(3，－2)，则2－2＝1.① abc又e＝＝ a a2＋b25 ＝，故a2＝4b2.② 2a2 4 2 1y 由①②得a2＝1，b2＝，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 41 4 y2x2 若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为2－2＝1(a＞0，b ab17 ＞0)．同理可得b＝－，不符合题意． 2 2 2y 综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 14 (2)由2a＝2b得a＝b， 所以e＝ b21＋2＝2， a 所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x2－y2＝6. x2y2 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 66x2y2 10．已知双曲线E：－＝1. m5 (1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； ?6?(2)若双曲线E的离心率为e∈?，2?，求实数m的取值范围． ?2? 解：(1)当m＝4时， x2y2 双曲线方程化为－＝1， 45所以a＝2，b＝5，c＝3， 所以焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)， 5
人教A版高中数学选修1-1同步练习-第二章双曲线的简单几何性质
