初中数学竞赛辅导资料
对称式
甲内容提要 一.定义
1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z任意交换两个后，代数式的值
不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.
例如： 代数式x+y， xy， x3+y3+z3－3xyz, x5+y5+xy,
11?， xyx?yy?zz?x??. 都是对称式. xyzxyzxyz 其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.
2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z循环变换后代数式的值不变，
则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.
例如：代数式 a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b), 2x2y+2y2z+2z2x,
1111， ???abcabc（xy+yz+zx）(
111111??)， 2. ??22222222xyza?b?cb?c?ac?a?b都是轮换式.
显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式. 二.性质
1. 含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍. 2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，
且系数相等.
例如：在含x, y, z的齐二次对称多项式中，
如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy项，则必同时有yz, zx两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为： m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n是常数.
3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的
一切同型式，且系数相等.
例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b一项, 必有同型式b－c和 c－a两项.
4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.
例如：∵x+y, xy都是对称式，
∴x+y＋xy， （x+y）xy，
x?y等也都是对称式. xy∵xy+yz+zx和
111??都是轮换式， xyz∴
乙例题
111111??＋xy+yz+z， （??）（xy+yz+z）. 也都是轮换式.. xyzxyz例1.计算：（xy+yz+zx）(
111111??)－xyz(2?2?2). xyzxyz分析：∵（xy+yz+zx）(
111??)是关于x,y,z的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只xyz要用xy分别乘以
111，，连同它的同型式一齐写下. yxz解：原式＝（
yzzxxyyzzxxy ?＋）＋（z+x＋y）+(y+z+x)－(?＋) xyzxyz ＝2x+2y+2z.
例2. 已知：a+b+c=0, abc≠0. 求代数式
111的值 ??222222222a?b?cb?c?ac?a?b （1989年泉州市初二数学双基赛题）
分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的
同型式. 解：∵
111＝＝，
a2?b2?c2a2?b2?(?a?b)2?2ab∴
111111＝－－－ ??2ab2bc2caa2?b2?c2b2?c2?a2c2?a2?b2c?a?b＝ －＝0.
2abc例3. 计算：（a+b+c）3
分析：展开式是含字母 a, b, c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用
待定系数法.
例4. 解：设（a+b+c）3＝m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.
（m, n, p是待定系数）
令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；
令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8； 令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.
?m?1?m?1??解方程组?2m?2n?8 得?n?3
?3m?6n?p?27?p?6??∴（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.
例5. 因式分解：
① a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)；
② （x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5. 解：①∵当a=b时，a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝0.
∴有因式a－b及其同型式b－c, c－a.
∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a－b）(b－c)(c－a)，可得 一次齐次的轮换式a+b+c. 用待定系数法：
得 a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝m(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a) 比较左右两边a3b的系数，得m=－1.
∴a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝－(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a). ② x=0时，（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝0
∴有因式x，以及它的同型式y和z.
∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz，其商是二次齐次轮换式. ∴用待定系数法：
可设（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5
＝xyz［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.
令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n； 令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.
?m?n?80解方程组?
6m?n?480? 得??m?80.
?n?0∴（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝80xyz(x+y+z).
丙练习49
1. 已知含字母x,y,z的轮换式的三项x3+x2y－2xy2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿＿＿.
2. 已知有含字母a,b,c,d的八项轮换式的前二项是a3b－(a－b)，试接着写完全代数式
_________________________________. 3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：
① （x2y+y2z+z2x）（xy2+yz2+zx2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z）（x2+y2+z2－xy－yz－zx）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 4. 计算：（x+y）5.
5. 求（x+y）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商. 6. 因式分解：
① ab(a－b)+bc(b－c)+ca(c－a)； ② (x+y+z)3－(x3+y3+z3)； ③ （ab+bc+ca）(a+b+c)－abc； ④ a(b－c)3+b(c－a)3+c(a－b)3.
7. 已知：
1111. ???abcabc 求证：a, b, c三者中，至少有两个是互为相反数.
a2b2c28. 计算：2＋＋.
a?ab?ac?bcb2?bc?ba?cac2?ca?cb?ab9. 已知：S＝
1（a+b+c）. 24a2b2?(a2?b2?c2)4b2c2?(b2?c2?a2)4c2a2?(c2?a2?b2)??求证：
161616＝3S（S－a）(S－b)(S－c).
10. 若x,y满足等式 x=1+
11和y=1+且xy≠0，那么y 的值是（ ） yx（A）x－1. （B）1－x. （C）x. （D）1+x.
练习49
1. y3+z3+y2z+z2x－2y2z－2z2x 2. b3c+c3d+d3a－(b－c)－(c－d)－(d－a) 3. ②x3+y3+z3－3xyz
4. 设(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3), a=1, b=5, c=10. 5. 设原式＝（x+y+z）［a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.
6 .③当a=－b时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=1 7. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解
8. 1 9. 一个分式化为S（S－a）(S－b)(S－c) 10. 选 C
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