《2.3.1 平面向量基本定理》教案
【教材】 人教版数学必修4（A版）第105-106页 【课时安排】 1个课时 【教学对象】 高一学生 【授课教师】 华南师范大学 数学科学学院 陈晓妹 【教材分析】
1. 向量在数学中的地位
向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。 2. 本节在教学中的地位
平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。 3. 本节在教学思维方面的培养价值
平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。 【目标分析】 知识与技能
1. 理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；
2. 了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。 过程与方法
1. 通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上
的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；
2. 通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定
理所蕴含的转化思想。 情感态度价值观
1. 培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程； 2. 与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。 【学情分析】 有利因素
1. 学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和
向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备；
2. 学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这
为我们学习向量分解提供了认知准备。 不利因素
1. 学生对向量加减法及数乘运算的意义与作用认识不够，可能增加向量用基底表示时的难
度；
2. 对于向量加减法及数乘运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量
运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。 3. 如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面
向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。
【教学重点、难点、关键】
重点：平面向量基本定理的理解与应用。 难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程。 关键：分层次设计探究问题并让学生进行操作实践。 【教学方法】引导探究、讨论交流。 【教学手段】计算机、PPT、几何画板。 【教学过程设计】 教学 环节 教 学 内 容 游戏介绍： 教师 活动 学生 活动 学生动手作图并在教师的引导下复习旧知识。 设 计 意 图 让学生通过自己动手做图，再对向量的求和和数乘进行复习，加强学生对旧知的巩固。 通过游戏开场，引发学生学习的兴趣；同时新的游戏题目，激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课。 教师层层深入引导探索，从简单到复杂，从特殊到一般，让学生亲身经历定理的 教师边作同桌两人为一组，单号的同学在平面上任意画图边回顾向量的加两个向量,并分别乘以一个数再相加（减）减及数乘运算，平 ,请双号的同学做出所得的向（一） 如：行四边形 法则。 量。 游戏 引入 师生共同回顾游戏中所利用的旧知识 教师提示 游戏其实教师进一步抛出新的游戏题目： 是物理学现在由双号的同学在平面内任意画一个向量，中力的合成和分解同桌一起讨论能否用形如λ1+μ2的问题。 向量表示出来？ ee 、 （二） 分层探究 探究一 任意画出的向量是否一定可以用“一个”已知的非零向量表示？ （复习向量共线定理） 探究二 任意画出的向量是否一定可以用“两个”已知的不共线向量表示？ 如图1，设,是同一平面内两个不共线的向 教师发出指令引导学生探索新知。 学生动手操作 体会定理的探索过
----?量，a是这一平面内的任一向量。 图1 请你将向量a 分解成图中所给的两个方向上的向量。 小组对照，比较分解成的两个向量的方向和长度是否一致？ 教师提问： 学生画完图后，小组对照片刻，比较分解成的两个向量的方向和长度是否一致，即观察分解的结果是否唯一？ (学生观察并讨论) 探究结果 分解结果一致，即该分解唯一。 教师提问：既然a 可以分解成e1，e2两个方向上的向量，那么a 是否可以用含有e1，e2的式子表示出来？ (学生回答，教师板书) 板书：OA= e1， OM= λ1 e1 ； OB= e2； ----?----?----?---?e1 a e2 ----?----? ON=λ2 e2； OC= a = OM+ ON=λ1 e1+λ2 e2 追问：一对数λ1 ，λ2 是否唯一？ (学生讨论并回答) 教师点评：分解结果的唯一，决定了两个分解向量的唯一，由共线向量定理，有且只有一个实数λ1 使得OM=λ1 e1成立，同理，实数λ2 也唯一，即一组数λ1 ，λ2 唯一确定。 探究三 探究二中的向量a可否用其他两个不共线的向----? 量表示出来？教师在黑板上另画出向量a和不 共线的向量,，请一位同学板演出新分解。 探究结果：可以选取不同一组不共线的向量表示向量a。 探究四 请同学们把刚刚同桌双号同学任意画出的向量用两个不共线的向量表示出来。 探究结果：平面内任一向量都可以分解成两个给定方向上的向量。 由分层探究的过程，教师引导学生尝试概括定 启发学生得出定理，强调程。 学生通过分层发生、形成过程，并体会探索问题的思路。 得出平面向量基本定理的内容， （三） 理，得到平面向量的基本定理及相关概念。 定理形成 学生活动（思考并讨论）： （1）作为基底的这两个向量是什么位置关系？（共线还是不共线，共线为什么不行） （2）表示平面上任一向量的基底有多少组？（无数组）（动画演示） （3）当基底确定后向量的表示是否唯一？ （唯一） 定理中的重点词句，剖析这其实是把向量代数化，为研究问题带来极大方便。 探究的过程归纳总结 定理 进一步强化理解。
（四） 定理 运用 （六） 小结 作业 uuurvuuurvuuurvvAB=a，AD=b，试用基底a、b表示MA、 uruuuuuuruuuur MB、MC和MD。 教师 D C 引导 M v学生 b 讲解 v A B a uuuruuurvv思考一：能否用a、b表示AC、DB？用怎 样的法则运算？ uuuruuur 思考二：MA，MB与哪些向量有关？ 学生回答，并完成题目，归纳解题方法。 vv分析：1a、b不共线，所以平面内的所有向量 都可以用它们作基底来表示。 2此类题目的关键是找所求向量与基底 间的关系，常通过观察图形，运用向量加减法 的平行四边形法则和三角形法则来寻求。 练习 如图：质量为m的物体静止的放在斜面上，斜 面与水平面的夹角为?，求斜面与物体的摩擦 ? 力f P f-f w 知识总结：1平面向量基本定理 2基底、向量夹角、垂直的概念 3 定理的应用 思想方法总结：本节课主要应用了数形结合 及 转化的思想。平时学习中要注意数学思想方法 的运用。 作业：1、课本第77页第3、4、5题， 例 已知YABCD的两条对角线相交于点M，设 学生 思考 识别 解决 问题 1. 根据变式理论，设计了不同形式类型的典型例题，强化定理的应用。 2.练习主要是要让学生再一次感受定理在物理学上的应用，体会数学是“有用的”
平面向量基本定理(教案)
