——教学资料参考参考范本—— 高中数学学业分层测评13含解析北师大版选修2_1 ______年______月______日 ____________________部门 1 / 6 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．椭圆＋＝1的焦点坐标为( ) A．(5,0)，(－5,0) C．(0,12)，(0，－12) B．(12,0)，(－12,0) D．(13,0)，(－13,0) 【解析】 ∵a2＝169，b2＝25，∴c2＝169－25＝144， ∴c＝12，又∵焦点在x轴上， ∴焦点为(12,0)，(－12,0)． 【答案】 B 2．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 【解析】 mn＞0，若m＝n则mx2＋ny2＝1不是椭圆． 若方程mx2＋ny2＝1是椭圆则“mn＞0一定成立．” 【答案】 B 3．过点(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是( ) A.＋＝1 C.＋＝1 B．＋＝1 D．＋＝1 【解析】 椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝5. 设所求的椭圆方程为＋＝1，将(3，－2)代入方程得＋＝1，解得a2＝15，故所求椭圆方程为＋＝1. 【答案】 A 2 / 6 4．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( ) A.＋＝1(x≠±2) C.＋＝1(x≠0) B．＋＝1(y≠±2) D．＋＝1(y≠0) 【解析】 ∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1， ∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a， ∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线)． 因此，顶点C的轨迹方程＋＝1(y≠±2)． 【答案】 B 5．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( ) 【导学号：32550066】 A．a＞3 C．a＞3或a＜－2 B．a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－2 【解析】 由于椭圆焦点在x轴上， ∴即?a＞3或－6＜a＜－2. 故选D. 【答案】 D 二、填空题 6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________． 【导学号：32550067】 【解析】 当m＞4时，m－4＝1，∴m＝5. 当0＜m＜4时，4－m＝1，∴m＝3. 【答案】 3或5 3 / 6 7．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________． 【解析】 若方程＋＝1表示椭圆． 则，∴2＜k＜6且k≠4. 【答案】 (2,4)∪(4,6) 8．在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(－4,0)，且＝，则△ABC的顶点C的轨迹方程为________． 【解析】 由正弦定理，得 |BC|＋|AC|＝，又|AB|＝8， |AB|∴|BC|＋|AC|＝10. 由椭圆定义可知，点C的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆． 又∵a＝×10＝5，c＝×8＝4， ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.又∵点A、B、C不共线， ∴点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 【答案】 ＋＝1(y≠0) 三、解答题 9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程． 【解】 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)． ∵F1A⊥F2A，∴·＝0， 而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5. ∴F1(－5,0)，F2(5,0)． 4 / 6 ∴2a＝|AF1|＋|AF2| ＝＋＝＋＝4. ∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 10．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程． 【解】 如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中， BC＝＝， ∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2，且|PA|＋|PB|＞|AB|， ∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝，c＝1，b＝1. ∴所求曲线E的方程为＋y2＝1. [能力提升] 1．已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A．必要不充分条件 C．充要条件 B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 将曲线C的方程化为：＋＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则有k－3＞5－k＞0，即4＜k＜5，故“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件． 5 / 6
高中数学学业分层测评13含解析北师大版选修2_1
