第3讲 基本不等式
, [学生用书P115])
a＋b
1．基本不等式ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．算术平均数与几何平均数
a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：2两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)
p2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
4
1．辨明两个易误点
(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 2．活用几个重要的不等式
ba
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号且都不为0)；
ab
a＋b?2a＋b?2a2＋b2??ab≤
?2?(a，b∈R)；?2?≤2(a，b∈R)． 3．巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
1.教材习题改编 将正数m分成两个正数a与b之和，则ab的范围为( )
m2m2
A．(0，] B．(0，] 2422mmC．[，＋∞) D．[，＋∞)
24 B [解析] a＋b＝m≥2ab，
m2
所以ab≤，故选B.
4
2.教材习题改编 函数f(x)＝x＋1
x
的值域为( )
A．[－2，2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．R
C [解析] 当x>0时，x＋11x≥2x·x＝2.
当x<0时，－x>0.
－x＋11
－x≥2（－x）·（－x）＝2.
所以x＋1
x
≤－2.
所以f(x)＝x＋1
x
的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C.
3.教材习题改编 用长为a(a>0)的铁丝折成一个矩形，则矩形面积的最大值为( a2a2A．2 B．4 2C．a8 D．a216
D [解析] 设折成的矩形的两边分别为x，y(x>0，y>0)．
则x＋y＝a
2.
因为x＋y≥2xy，
所以xy≤14(x＋y)2
＝a2
16，
即S矩形≤a
216
.
＝y＝a4时，(S矩形)max＝a2
当且仅当x16
.故选D.
4．若x>1，则x＋4
x－1的最小值为________．
[解析] x＋4x－1＝x－1＋4
x－1
＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝4
x－1
，
即x＝3时等号成立． [答案] 5
5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为______．
[解析] 因为xy＝1，所以y＝1
x
，
所以x2＋2y2＝x2＋22x2≥2 x2·x2＝22.
即x2＋2y2的最小值为22. [答案] 22
)
利用基本不等式求最值(高频考
点)[学生用书P115]
利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．
[典例引领]
(1)(2017·安徽合肥二模)若a，b都是
b4a
1＋??1＋?的最小值为( ) 正数，则?b??a??
A．7 C．9
B．8 D．10
1112
(2)(2017·安徽安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
abab
A．4 B．22 C．8 D．16
b4ab4ab4a1＋??1＋?＝5＋＋≥5＋2【解析】 (1)因为a，b都是正数，所以?·＝9，b??a??abab当且仅当b＝2a>0时取等号．故选C.
11a＋b12
(2)由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2
ababab
2
即a＝，b＝2时等号成立．故选B.
2
【答案】 (1)C (2)B
1212·＝22.当且仅当＝，abab
（完整word版）2024届高考数学（文）大一轮复习检测第六章第3讲基本不等式Word版含答案
