2019-2020学年高三数学二轮复习 9.2空间的两条直线学案
【复习目标
掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的定义，并能判定和证明两条直线是异面直线； 会用转化的方法求异面直线所成的角，渗透“化归”的数学思想方法； 初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”的相互转化。 【课前预习】
空间两条直线位置关系的分类：
分别与两条异面直线同时相交的两条直线不可能有什么样的位置关系？ ； 两条直线没有交点是这两条直线为异面直线的 条件.
两异面直线在一平面内射影的可能图形是 （写出所有可能）。 “a、b是两条异面直线”是指：（1）a?b??，但a不平行b；（2）a?平面?，b?平面?；且ab??；（3）a?平面?，b?平面?；且????；（4）a?平面?，b?平面?；（5）不存在平面?，能使a?平面?，且b?平面?.上述结论中，正确的是（ ） A．（1）（4）（5） B．（1）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（5）
设a、b是两条异面直线，下列命题结论正确的是 （ ） A．有且仅有一条直线与a、b都垂直 B．过a有且仅有一个平面与b平行
C．有且仅有一个平面与a、b都垂直 D．过空间任一点必可作一条直线与a、b都相交 【典型例题】
例1 如图，已知在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且
BGDH?GCHC?2，求证：直线EG、FH、AC相交于一点。
FAEDHBGC
例2 如图，已知不共面的三条直线a,b,c相交于点P，A?a，B?a，C?b，D?c，求证：AD与BC是异面直线。
ABDPCacb
例3 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1
B1D1=O1，B1D截面A1BC1=P，求证：
P?BO1；
B1D被平面A1BC1截于三等分点。 D1C1 O1 A1B1 P DC AB
例4 长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a?b，求： 下列异面直线的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C； 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值。 D1C1 A1B1D C AB
【巩固练习】
若a与b是异面直线，b与c也是异面直线，则a与c （ ） A．只能是异面直线 B．只能是平行直线
C．只能是相交直线或平行直线 D．可以是平行直线，也可以是相交直线或异面直线。 在正四面体ABCD中，设棱长为a，E、F分别是AB、CD的中点，则EF与AC所成角的大小为 ，AB与CD成的角为 ，AB、CD间的距离为 。 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC与B1D所成角的余弦值是 。 【本课小结】
【课后作业】
求证：每两条都相交，且不共点的四条直线必共面。
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，MN分别为A1B1、BB1的中点，求AM、CN所成的角。
a、b为异面直线，A、B在a上，C、D在b上，AB=8，CD=6，M、N分别为AD、BC中点，且
MN=5，求a、b所成的角。
在空间四边形ABCD中，AD=AC=BD=BC=a，AB=CD=b，E、F分别是AB、CD的中点。 求证：EF是AB和CD的公垂线； 求AB和CD间的距离。
直三棱柱A1B1C1—ABC中，∠BCA=90°，点D1、F1分别为A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=C1C，求BD1与AF1所成角的余弦值。
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