函数的奇偶性
1．函数f（x）=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是 A．奇函数非偶函数
（ ）
B．偶函数非奇函数
C．奇函数且偶函数 D．非奇非偶函数
2. 已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是( ）
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 3. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(??,0]上是减函数，
且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是 ( )
A.(-?,2) B. (2,+?) C. (-?,-2)?(2,+?) D. (-2,2) 4．已知函数f(x)是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.
当x∈(－∞,0)时，f(x)=x-x4，则 当x∈(0.+∞)时，f(x)= . 5. 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝lg(x2?1-x); (2)f(x)＝x?2+2?x
?x(1?x)?x(1?x)(3) f（x）=?(x?0),(x?0).
6.已知g(x)=－x2－3,f(x)是二次函数，当x∈[-1,2]时，f(x)的最小值是1，且f(x)+g(x)是奇函数，求f(x)的表达式。
2
7.定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且f(1-a)+f(1-a)<0,求a的取值范围
ax2?1(a,b,c?N)是奇函数,f(1)?2,f(2)?3,且f(x)在[1,??)上是8.已知函数f(x)?bx?c增函数,
(1)求a,b,c的值;
(2)当x∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.
9.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有
f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
10下列四个命题：
（1）f（x）=1是偶函数；
（2）g（x）=x3，x∈（－1，1]是奇函数；
（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）=f（x）·g（x）一定是奇函
数； （4）函数y=f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是 （ ） A．1
B．2
C．3
D．4
11下列函数既是奇函数，又在区间??1,1?上单调递减的是( )
1x2?xa?a?x D.f(x)?lnA.f(x)?sinx B.f(x)??x?1C.f(x)?
22?x??12若y=f（x）（x∈R）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y=f（x）上的是（ ） A．（a，f（－a）） B．（－sina，－f（－sina）） C．（－lga，－f（lg）） D．（－a，－f（a））
13. 已知f（x）=x4+ax3+bx－8，且f（－2）=10，则f（2）=_____________。
a?2x?a?214.已知f(x)?是R上的奇函数，则a =
2x?11a
15.若f(x)为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，又f(-2)=0，则xf(x)<0的解集为________
16.已知y=f(x)是偶函数，且在[0,??)上是减函数，则f(1－x2)是增函数的区间是 17.已知f(x)?x(1?) x22?11
（1）判断f（x）的奇偶性； （2）证明f（x）>0。
答案
1.【提示或答案】 D
【基础知识聚焦】掌握函数奇偶性的定义。
2.【提示或答案】A
【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念 3.【提示或答案】D
【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念及数形结合的思想 【变式与拓展】
1：f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0,??)上递减，那么一定有( ）
A．f(?C．f(?33)?f(a2?a?1) B．f(?)?f(a2?a?1) 4433)?f(a2?a?1) D．f(?)?f(a2?a?1) 44【变式与拓展】
2：奇函数f(x)在区间[3，7]上递增，且最小值为5，那么在区间[－7，－3] 上是
（ ）
A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 4. 【提示或答案】f(x)=-x-x4
【变式与拓展】已知f（x）是定义在R上的奇函数，x>0时，f（x）=x2－2x+3，则f（x）=________________。
【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式 5．【提示或答案】
解(1)此函数的定义域为R.
∵f(-x)+f(x)＝lg(x2?1+x)+lg(x2?1-x)＝lg1＝0
∴f(-x)＝-f(x)，即f(x)是奇函数。
(2)此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。 （3）∵函数f（x）定义域（－∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数.
【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念并会判断函数的奇偶性 6．解：设f(x)?ax2?bx?c则
f(x)?g(x)?(a?1)x2?bx?c?3是奇函数 ?a?1?0?a?1????, c?3?0c?3??b1f(x)?x2?bx?3?(x?)2?3?b2
24b1（1）当?1???2即-4?b?2时，最小值为：3?b2?1?b??22
42?b??22,f(x)?x2?22x?3
b?2即b??4时,f(2)=1无解； 2b（3）当???1即b?2时，
2（2）当?f(?1)?1?b?3,f(x)?x2?3x?3
综上得：f(x)?x2?22x?3或 f(x)?x2?3x?3
【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式，渗透数形结合 7. 【提示或答案】 -1<1-a<1
2
-1<1-a<1
f(1-a)<- f(1-a2)=f(a2-1),1-a> a2-1得0 ax2?1ax2?1ax2?1????c?0由f(1)?2得a?1?2b, ?bx?cbx?c?bx?c由f(2)?3?a?2?0??1?a?2 a?1又a?N,?a?0,1. 1当a?0时,b??N,舍去. 2x2?11?x?当a=1时,b=1,f(x)?xx 【基础知识聚焦】结合具体函数，考查函数性质9【提示或答案】 分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=－x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明． (1)证明： f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ① 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=－x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数． (2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数． f(k·3x)＜-f(3x-9x-2) =f(-3x+9x+2)， k·3x＜-3x+9x+2， 32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R都成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立． 1?k令f(t)=t2－(1+k)t+2,其对称轴x? 21?k?0,即k??1时,f(0)=2>0,符合题意; 当21?k?0时,对任意t>0,f(t)>0恒成立 当2?1?k?0???2???(1?k)2?4?2?0 ?解得?1?k??1?22综上所述,所求k的取值范围是(??,?1?22) 【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题，使学生掌握方法。 10【提示或答案】B 11【提示或答案】D 12【提示或答案】D 【基础知识聚焦】掌握奇偶函数的性质及图象特征 13【提示或答案】6 【基础知识聚焦】考查奇偶性及整体思想 【变式与拓展】：f（x）=ax+bx－8，且f（－2）=10，则f（2）=_____________。 14【提示或答案】由f(0)=0得a=1 【基础知识聚焦】考查奇偶性。若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0； f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|) 15【提示或答案】画图可知，解集为(??,?2)?(2,??); 16【提示或答案】x<-1,0 17【提示或答案】（1）偶函数 2）x>0时，f(x)>0,x<0时-x>0,f(x)=f(-x)>0 （
函数的奇偶性练习题（附答案）
