第3节 圆的方程
【课标要求】
1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
2．能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 【知识衍化体验】
知识梳理
1．圆的定义
在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是 和 ． 2．圆的标准方程
（1）以(a，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为 ． （2）特殊的，x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为 ，半径为 ． 3．圆的一般方程
D2E2D2?E2?4F方程x?y?Dx?Ey?F?0变形为(x?)?(y?)?．
22422（1）当D2?E2?4F?0时，方程表示以 为圆心， 为半径的圆； （2）当D2?E2?4F?0时，该方程表示一个点 ； （3）当D2?E2?4F?0时，该方程不表示任何图形． 4．点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，M到C的距离为d，M与圆C的位置
关系：
（1）点M(x0，y0)在圆上? ? ；
（2）点M(x0，y0)在圆外? ? ； （3）点M(x0，y0)在圆内? ? ． [微点提醒]
1．到两定点距离之比等于定值（大于0且不为1）的点的轨迹也是圆（阿波罗尼斯圆）． 2．圆心在坐标原点半径r的圆的方程为x2＋y2＝r2，圆的标准方程可以通过三角换元得到圆?x?a?rcos?,的参数方程：?
y?b?rsin?.?3．直径式方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0．
A＝C≠0，??
4．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为?B＝0，
??D2＋E2－4AF>0.
基础自测
疑误辨析 多项选择题
1．下列说法正确的是（ ） A．确定圆的几何要素是圆心与半径． B．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．
2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0． C．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x0000
1D．圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是(1,)．
2教材衍化
2．（必修2P111练习3（2）改编）圆心在直线y??x上，且过两点A(2，0)，B(0，?4)的圆的标准方程为 ．
3．（必修2P111练习8改编）若方程x2?y2?4mx?2y?4m2?m?0表示圆，则实数m的取值范围是 ． 考题体验
4．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( ) A．(－1，1)
B．(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1
5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
6．已知三点A(1，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ） 0)，B(0，3)，C(2，3)，212554A． B． C． D．
3333【考点聚焦突破】
考点一 求圆的方程问题
【例1】（1）过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆的方程为________．
（2）已知圆C关于直线2x－y－7＝0对称，且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________． 规律方法
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法： （1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，常用到的三个性质：
?圆心在过切点且垂直切线的直线上； ?圆心在任一弦的中垂线上； ?相切两圆的连心线经过切点；
（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，若由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．
【训练1】（1）已知点A是Rt△ABC的直角顶点，且A(a，2)，B(－4，a)，C(a＋1，1)，则△ABC的外接圆的方程是____________．
（2）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,5)在圆C上，且圆心到直线2x?y?0 的距离为45，则圆C的方程为 ． 5考点二 与圆有关的最值问题
角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题
【例2-1】 已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．
（1）求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值； （2）求x－2y的最大值和最小值； y－2
（3）求的最大值和最小值．
x－1
规律方法
1．研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解． 2．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
y－b
（1）形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
x－a（2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如m=(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
角度2 利用对称性求最值
【例2-2】已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．52－4 C．6－22 规律方法
求解形如|PM|＋|PN|（其中M、N为动点）且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
（1）“动化定”，把圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
（2）“曲化直”，即将折线段之和（差）转化为同一条直线上的两线段和（差），一般要用对称性解决．
【训练2】（1）已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )
A．3－2 C．3－2 2
B．3＋2 3－2D． 2B．17－1 D．17
（2）过点P(1,1)的直线，将圆形区域?(x,y)|x2?y2≤4?分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x?y?2?0 B．y?1?0 C．x?y?0 D．x?3y?4?0
（3）光线从A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0的最短路程为________．
考点三 与圆有关的轨迹问题
【例3】（1）设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，P为线段MN的中点，求点P的轨迹方程．
1
（2）已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3,0）的距离之比为，求点M的
2轨迹方程为．
规律方法
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： （1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． （2）定义法：根据圆、直线等定义列方程． （3）几何法：利用圆的几何性质列方程．
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
【训练3】（1）圆C：x2?y2?4x?2y?4?0中经过原点O的弦的中点M的轨迹方程是________．
（2）已知圆O:x2?y2?1和点A(?2,0)，若定点B(b,0)(b??2)和常数?满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|??|MA|，则（Ⅰ）b? ； （Ⅱ）?? . 反思与感悟 [思维升华]
1．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．确定圆的方程，不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个参数，需要三个独立的条件，因此利用待定系数法求解时需要建立三个方程的方程组．
2．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值． [易错防范]
1．在研究圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时，要注意D2＋E2－4F>0这一隐含条件．
2．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，求轨迹在得出方程后还要指明轨迹的具体曲线．
第3节 圆的方程(轻巧夺冠)
