课时作业34 数列求和与数列的综合应用
一、选择题
1111
1．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
24816121
A.(n＋n＋2)－n 2211B.n(n＋1)＋1－n－1 22121C.(n－n＋2)－n 221?1?D.n(n＋1)＋2?1－n? 2?2?
1?1111?11
解析：∵an＝n＋n，∴Sn＝1＋2＋…＋nn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋?＋＋…＋n?＝
2?2242?241?1?
1－n??2?2?1n1＋n1121＋＝n(n＋1)＋1－n＝(n＋n＋2)－n. 212222
1－2
答案：A
2．在数列{an}中，an＝A．2 010 C．2 012 解析：∵an＝∴Sn＝1－
n12 011
，若{an}的前n项和为，则项数n为( ) n＋12 012
B．2 011 D．2 013
n111＝－， n＋1nn＋1
1n2 011＝＝， n＋1n＋12 012
解得n＝2 011. 答案：B
1111
3．数列1×，2×，3×，4×，…的前n项和为( )
248161nA．2－n－n＋1 22B．2－
12
n－1
－n 2
n121C.(n＋n＋2)－n 2211D.(n＋1)n＋1－n＋1 22
11111111解析：∵Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×n①，∴Sn＝1×2＋2×3＋…＋(n－1)n＋
248222221??1?n?1－????2??2??n1111111
n·n＋1②.①－②，得Sn＝1×＋1×＋1×＋…＋n－n·n＋1＝－n＋1， 222482212
1－2
1n∴Sn＝2－n－1－n.
22答案：B
4．(2017·赣州摸底)已知数列{an}满足：a1＝2，且对任意n，m∈N，都有am＋n＝am·an，
*
S4
Sn是数列{an}的前n项和，则＝( )
S2
A．2 C．4
解析：因为am＋n＝am·an， 则＝
B．3 D．5
S4a1＋a2＋a3＋a4
S2a1＋a2
2
a3＋a4a1a2＋a2
＝1＋＝1＋
a1＋a2a1＋a2
＝1＋a2＝1＋a1＝5，故选D. 答案：D
5．在数列{an}中，an＝n，n∈N，前50个偶数的平方和与前50个奇数的平方和的差是( )
A．0 C．2 525
2
2
2
2
2
2
*
2
B．5 050 D．－5 050
2
2
2
2
2
2
解析：(2＋4＋…＋100)－(1＋3＋…＋99)＝(2－1)＋(4－3)＋…＋(100－99)50×3＋199
＝3＋7＋11＋…＋195＋199＝＝5 050.
2
答案：B
6．数列{an}满足an＋1＋(－1)an＝2n－1，则数列{an}的前60项和为( ) A．3 690 C．1 845
B．3 660 D．1 830
n解析：当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a2k＋1＋a2k－1
＝2，∴a2k＋1＋a2k＋3＝2，∴a2k－1＝a2k＋3，即a1＝a5＝…＝a61.∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)
30×3＋119
2
＝30×61＝1
＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝830.
答案：D 二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)
n＋1
(3n－2)，则前100项和S100等于________．
解析：∵a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝…＝a99＋a100＝－3，∴S100＝－3×50＝－150. 答案：－150
8．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18
＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．
解析：由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0， ∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18 ＝S10－(S18－S10)＝60. 答案：60
9．整数数列{an}满足an＋2＝an＋1－an(n∈N)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 015项的和为________．
解析：由an＋2＝an＋1－an，得an＋2＝an－an－1－an＝－an－1，易得该数列是周期为6的数列，且an＋2＋an－1＝0，S800＝a1＋a2＝2 013，S813＝a1＋a2＋a3＝2 000，
??a3＝a2－a1＝－13，
∴?
??a2＋a1＝2 013，??a1＝1 013，∴???a2＝1 000，
*
，
??a3＝－13，
∴???a4＝－1 013，
依次可得a5＝－1 000，a6＝13，
由此可知an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4＋an＋5＋an＋6＝0， ∴S2 015＝S5＝－13. 答案：－13
1??1＋1?，?11?…，?1＋1＋1＋…＋n10．(2017·郑州模拟)若数列{an}是1，…，－1?，?2??1＋2＋4?，?24
2??????则数列{an}的前n项和Sn＝________.
111
解析：an＝1＋＋＋…＋n－1
242
?1?n1－???2??1?＝＝2?1－n?， 1?2?1－2
所以Sn
??1??1??1??＝2??1－?＋?1－2?＋…＋?1－n?? ??2??2??2??
?1－1???1?2?2???n－?1－1?? ＝2?n－＝2????1???2???1－2?
nn1
＝2n－2＋n－1.
21
答案：2n－2＋n－1
2三、解答题
11．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)∵{an－1}是等比数列且a1－1＝2，a2－1＝4，∴an－1＝2·2
n－1
a2－1
＝2， a1－1
＝2，∴an＝2＋1.
n2
3
nn(2)bn＝nan＝n·2＋n，故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×2＋3×2＋…＋n·2)＋(1＋2＋3＋…＋n)．
令T＝2＋2×2＋3×2＋…＋n·2， 则2T＝2＋2×2＋3×2＋…＋n·2
2
3
2
3
4
2
3
nnn＋1
.
n＋1
两式相减，得－T＝2＋2＋2＋…＋2－n·2∴T＝2(1－2)＋n·2∵1＋2＋3＋…＋n＝∴Tn＝(n－1)·2
n＋1
nn＋1
n21－2＝
1－2
n－n·2
n＋1
，
＝2＋(n－1)·22
， .
n＋1
.
nn＋1n2＋n＋4
2
＋
12．正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝
2
222
n＋15*
数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N，都有Tn<. 22，n＋2an64
2
2
2
解：(1)由Sn－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0，得[Sn－(n＋n)](Sn＋1)＝0，
由于{an}是正项数列，所以Sn＋1>0. 所以Sn＝n＋n(n∈N)．
2
*
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， n＝1时，a1＝S1＝2适合上式，
所以an＝2n(n∈N)． (2)证明：由an＝2n(n∈N)． 得bn＝
＝2
n＋22a24nn1n＋2
2
2
*
*
n＋1
n＋1n＋2
2
11＝[2－16n2
]，Tn＝
?1－1?＋?1－1?＋?1－1?＋…???????1??3??24??35?1611?＋?1－?＋?－????n－1n＋1???n2
2
2
2
2
2
1
n＋2
2
?? ?????
11?
＝?1＋2－16?2<
1n＋1
2
－
1n＋2
2
? ??
11?5*
1＋2?＝(n∈N)． ??2?6416?
5*
即对于任意的n∈N，都有Tn<.
64
1．(2016·浙江卷)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋
2
|，An≠An＋2，n∈N，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N(P≠Q表示点P与Q不重合)．若
**
dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
2018届高考数学（文）大一轮复习检测：第五章 数列 课时作业34
