向量与三角形“四心”的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合
（1）OA?OB?OC?0?O是?ABC的重心. 证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
x1?x2?x3?x???(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?3OA?OB?OC?0????
y?y?y(y?y)?(y?y)?(y?y)?02323?1?y?1?3??O是?ABC的重心.
证法2：如图?OA?OB?OC?OA?2OD?0?AO?2OD
?A、O、D三点共线，且O分AD为2：1 ?O是?ABC的重心
AOEBDC
（2）OA?OB?OB?OC?OC?OA?O为?ABC的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OA?OB?OB?OC?OB(OA?OC)?OB?CA?0?OB?AC
同理OA?BC，OC?AB?O为?ABC的垂心
AEO
（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是?ABC的内心
BDCaOA?bOB?cOC?0?O为?ABC的内心.
证明：?ABACAC方向上的单位向量， 、分别为AB、cb?ABAC?平分?BAC, cbABACbc?)，令?? cba?b?c?AO??(?ABACbc?（) cba?b?c化简得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0
AO??aOA?bOB?cOC?0
（4）OA?OB?OC?O为?ABC的外心。
典型例题：
例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP?OA??(AB?AC)，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
AEBDC分析：如图所示?ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.
?AB?AC?2AD，?OP?OA?2?AD ?OP?OA?AP，?AP?2?AD，?AP//AD
?点P的轨迹一定通过?ABC的重心，即选C. 例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP?OA??(ABAB?ACAC则点P的轨迹一定通过?ABC的（ B ） )，???0,??? ，
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：?ACABACAC方向上的单位向量，?分别为AB、平分?BAC, 、?ABACABACAB?点P的轨迹一定通过?ABC的内心，即选B.
例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP?OA??(ABABcosB?ACACcosC)，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
(ABABcosB?ACACcosC)?BC=AB?BCABcosB?AC?BCACcosC ?ABBCcosB=ABcosB?ACBCcosCACcosC=?BC+BC=0
?点P的轨迹一定通过?ABC的垂心，即选D.
AEBDC
练习：
1．已知?ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA?PB?PC?0，若实数?
满足：AB?AC??AP，则?的值为（ ）
A．2 B．
3 C．3 D．6 22．若?ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OA?OB?OC?0，则OA?OB?( )
A．
11 B．0 C．1 D．? 223．点O在?ABC内部且满足OA?2OB?2OC?0，则?ABC面积与凹四边形ABOC面
积之比是（ ）
A．0 B．
354 C． D． 2434．?ABC的外接圆的圆心为O，若OH?OA?OB?OC，则H是?ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若
OA?BC?OB?CA?OC?AB，则O是?ABC的（ ）
222222A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH?m(OA?OB?OC)，
则实数m =
→→→→1ABACABAC→→→
7．已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )
2→→→→|AB||AC||AB||AC|
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知?ABC三个顶点A、B、C，若AB?AB?AC?AB?CB?BC?CA，则?ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C
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向量与三角形“四心”的交汇
