答案 A
4.(2019·肇庆二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则( ) A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数
??10＋x>0，
解析 由?得x∈(－10，10)，
?10－x>0，?
且f(x)＝lg(100－x). ∴f(x)是偶函数，
又t＝100－x在(0，10)上单调递减，y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，10)上单调递减. 答案 D
5.已知函数f(x)＝|ln x|，若f(m)＝f(n)(m>n>0)，则1
A. 2
B.1
C.2
22＋＝( ) m＋1n＋1
D.4
2
2
解析 由f(m)＝f(n)，m>n>0，可知m>1>n>0， ∴ln m＝－ln n，则mn＝1. 所以
222（m＋n）＋42（m＋n＋2）＋＝＝＝2. m＋1n＋1mn＋m＋n＋1m＋n＋2
答案 C 二、填空题
5?1?6.lg＋2lg 2－??＝________. 2?2?55?1?2
解析 lg＋2lg 2－??＝lg＋lg 2－2
22?2?
－1
－1
?5?＝lg?×4?－2＝1－2＝－1. ?2?
答案 －1
7.(2019·昆明诊断)设f(x)＝lg?________.
11
?2＋a?是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是
?
?1－x?
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1， 1＋x∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
1－x1＋x由f(x)<0，可得0<<1，∴－1 1－x答案 (－1，0) ??－log2（3－x），x<2， 8.(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝?x－2 ?2－1，x≥2，? 若f(2－a)＝1，则f(a)＝________. 解析 当2－a<2，即a>0时，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1. 1 解得a＝－，不合题意. 2 当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－1＝1，即2＝2，解得a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2. 答案 －2 三、解答题 9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； －a－a?3?(2)求f(x)在区间?0，?上的最大值. ?2? 解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2. ??1＋x>0，由?得－1＜x＜3， ?3－x>0，? ∴函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)＋4]， ∴当x∈[0，1]时，f(x)是增函数； 2 ?3?当x∈?1，?时，f(x)是减函数， ?2? ?3?故函数f(x)在?0，?上的最大值是f(1)＝log24＝2. ?2? 10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log1x. 2 (1)求函数f(x)的解析式； 12 (2)解不等式f(x－1)>－2. 解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log1(－x). 2 2 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log1(－x)， 2 所以函数f(x)的解析式为 ??f(x)＝?0，x＝0， ??log（－x），x<0. logx，x>0， 2112 (2)因为f(4)＝log14＝－2，f(x)是偶函数， 2 所以不等式f(x－1)>－2转化为f(|x－1|)>f(4). 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x－1|<4，解得－5 能力提升题组 (建议用时：20分钟) 11.(2019·商丘二模)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋x＋b)在区间(－∞， ＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga||x|－b|的图象是( ) 2 2 22 解析 ∵函数f(x)＝loga(x＋x＋b)在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函数f(x)＝loga(x＋x＋b)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a>1. 所以g(x)＝loga||x|－1|，当x>1时，g(x)＝loga(x－1)为增函数，排除B，D；当0 13 2 2 12.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2＝3＝5，则( ) A.2x<3y<5z C.3y<5z<2x xyzxyz B.5z<2x<3y D.3y<2x<5z 解析 令t＝2＝3＝5， ∵x，y，z为正数，∴t>1. lg tlg tlg t则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝. lg 2lg 3lg 52lg t3lg tlg t（2lg 3－3lg 2） ∴2x－3y＝－＝ lg 2lg 3lg 2×lg 3lg t（lg 9－lg 8） ＝>0， lg 2×lg 3∴2x>3y. 2lg t5lg tlg t（2lg 5－5lg 2）lg t（lg 25－lg 32） 又∵2x－5z＝－＝＝<0， lg 2lg 5lg 2×lg 5lg 2×lg 5∴2x<5z，∴3y<2x<5z. 答案 D 13.已知函数f(x)＝lg(mx＋2mx＋1)，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________. 解析 令g(x)＝mx＋2mx＋1值域为A，∵函数f(x)＝lg(mx＋2mx＋1)的值域为R，∴(0， ??m>0， ?2＋∞)?A，当m＝0时，g(x)＝1，f(x)的值域不是R，不满足条件；当m≠0时， ?4m－4m≥0，? 2 2 2 解得m≥1. 答案 [1，＋∞) 14.已知函数f(x)＝ln x＋1 . x－1 (1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性； (2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln解 (1)由x＋1m>ln恒成立，求实数m的取值范围. x－1（x－1）（7－x） x＋1 >0，解得x<－1或x>1， x－1 ∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， －x＋1x－1?x＋1?＝－lnx＋1＝－f(x). ＝ln＝ln??－x－1x＋1x－1?x－1? －1 f(－x)＝ln ∴f(x)＝ln x＋1 是奇函数. x－1 14 (2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln∴ x＋1m>ln恒成立， x－1（x－1）（7－x） x＋1m>>0恒成立， x－1（x－1）（7－x） ∵x∈[2，6]，∴0 由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减， 2 即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7， ∴0 故实数m的取值范围为(0，7). 15
2020版高考数学新设计大一轮复习-第6节对数与对数函数习题理(含解析)新人教A版
