第3讲 平面向量
高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( ) A.a⊥b C.a∥b
2
B.|a|＝|b| D.|a|>|b|
2
2
2
解析 由|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b，即a·b＝0，故a⊥b. 答案 A
2.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________. 解析 由题意得a＋b＝(m－1，3)，
因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7. 答案 7
→→→→→3.(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD＝2DC，AE＝λAC－AB (λ∈R)，
→→
且AD·AE＝－4，则λ的值为________.
→→→1→2→→→?1→2→?→→
解析 AB·AC＝3×2×cos 60°＝3，AD＝AB＋AC，则AD·AE＝?AB＋AC ?·(λAC－AB)
3 3 ?3 3 ? ＝
λ－2→→1→22λ→2λ－2122λ1132AB·AC－AB＋AC＝×3－×3＋×2＝λ－5＝－4，解得λ＝. 3 3 3 333311
3
11
答案
4.(2017·江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]. (1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解 (1)∵a∥b，∴3sin x＝－3cos x，
?π?∴3sin x＋3cos x＝0，即sin?x＋?＝0.
6??
ππ7
∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，
666π5π
∴x＋＝π，∴x＝.
66
?π?(2)f(x)＝a·b＝3cos x－3sin x＝－23sin?x－?.
3??
π?π2π?∵x∈[0，π]，∴x－∈?－，?，
3?3?3∴－3?π?≤sin?x－?≤1，
3?2?
∴－23≤f(x)≤3，
ππ
当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
33ππ5π
当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－23.
326
考 点 整 合
1.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3.平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y.
→22
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（x2－x1）＋（y2－y1）.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
2
2
a·bx1x2＋y1y2
则cos θ＝＝2222.
|a||b|x1＋y1x2＋y2
4.平面向量的三个锦囊
→→→
(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是OP＝λ1OA＋λ2OB
(其中λ1＋λ2＝1).
→→→→
(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量OP与向量OA，OB的关系是OP＝
- 2 -
1→→(OA＋OB). 2
→→→?xA＋xB＋xC，yA＋yB＋yC?.
(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心?GA＋GB＋GC＝0?G??33 ??
热点一 平面向量的有关运算
【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则m＝________.
12→→→
(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB， BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC (λ1，
23λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 解析 (1)由|a＋b|＝|a|＋|b|，得a⊥b， 所以a·b＝m×1＋1×2＝0，得m＝－2. →→→1→2→
(2)DE＝DB＋BE＝AB＋BC 2 3 1→2→→1→2→＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC， 2 3 6 3 →∵DE＝λ
1
2
2
2
2
2
2
AB＋λ2AC，
→ →
12
∴λ1＝－，λ2＝，
631
因此λ1＋λ2＝.
21
答案 (1)－2 (2)
2
探究提高 对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.
→→
【训练1】 (2017·衡阳二模)如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM →
＋μBN，则λ＋μ＝( )
A.2
8B. 3
- 3 -
6C. 58D. 5
→?1?解析 法一 如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM＝?1，?，
2? ?→?1?→
BN＝?－，1?，AC＝(1，1). ?2?
μλ→→→?1??1??∵AC＝λAM＋μBN＝λ?1，?＋μ?－，1?＝?λ－，＋μ22 ?2??2??16
λ－μ＝1，λ＝，???2?58∴?解之得?故λ＋μ＝.
5λ2
???2＋μ＝1，?μ＝5，→→
法二 以AB，AD作为基底，
∵M，N分别为BC，CD的中点， →→→→1→∴AM＝AB＋BM＝AB＋AD， 2 →→→→1→BN＝BC＋CN＝AD－AB， 2
μ?→?λ→→→?
因此AC＝λAM＋μBN＝?λ－?AB＋?＋μ
2? ?2 ?→→→
又AC＝AB＋AD，
μ
λ－＝1，??262因此?解得λ＝且μ＝.
55λ
??2＋μ＝1，8所以λ＋μ＝.
5答案 D
热点二 平面向量的数量积 命题角度1 平面向量数量积的运算
→?AD? ， ?
?， ??
【例2－1】 (1)(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD→→→→→→
＝3，AC与BD交于点O，记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则( )
- 4 -
A.I1＜I2＜I3 C.I3＜I1＜I2
B.I1＜I3＜I2 D.I2＜I1＜I3
→→→→
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的
最大值为________.
解析 (1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO ＝90°，∴∠AOB与∠COD为钝角，∠AOD与∠BOC为锐角，根据题意，I1－I2＝OA·OB－OB·OC →→→→→＝OB·(OA－OC)＝OB·CA＝ →→ |OB||CA|·cos∠AOB<0， ∴I1 ∴OB ∴|OA||OB|<|OC||OD|， →→→→ 而cos∠AOB＝cos∠COD<0，∴OA·OB>OC·OD， 即I1>I3.∴I3 (2)法一 如图，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)， 设E(t，0)，t∈[0，1]， - 5 -
2018年高考数学二轮复习 专题二 第3讲 平面向量案 文
