∴∠ABC+∠ABF=270°， ∴∠CBF=90°， ∴BC2+FB2=CF2=（∴BC2+CD2=2BD2．
考点：1．阅读理解题；2．平移，旋转的图形变换性质；3．三角形全等、相似的判定与性质；4．勾股定理的运用．
BD）2=2BD2，
【变式4-2】（2024?湖南长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸
四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，
ABBCCD==．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． A1B1B1C1C1D1（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求
S2的值． S1
【解析】（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题． 故答案为假，假，真．
（2）如图1中，连接BD，B1D1．
∵∠BCD=∠B1C1D1，且
BCCD=， B1C1C1D1∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB=∠C1D1B1，∠C1B1D1=∠CBD，
ABBCCDBDAB===∵，∴，
B1D1A1B1A1B1B1C1C1D1∵∠ABC=∠A1B1C1，∴∠ABD=∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，
ADAB=∴，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1， A1D1A1B1ABBCCDAD===∴，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1， A1B1B1C1C1D1A1D1∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． （3）如图2中，
∵四边形ABCD与四边形EFCD相似，∴∵EF=OE+OF，∴
DEEF=， AEABDEOE?OF=， AEABDEOEDEOCOF??=∵EF∥AB∥CD，∴，，
ADABADABABDEDEOEOF2DEDE+=+=∴，∴， ADADABABADAE21=∵AD=DE+AE，∴，
DE?AEAE∴2AE=DE+AE，∴AE=DE， ∴
S2=1． S1【名师点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
1．（2024?湘西州）阅读材料：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），如果a∥b，则x1?y2=x2?y1，根据该材料填空，已知a=（4，3），b=（8，m），且a∥b，则m=__________． 【答案】6
【解析】∵a=（4，3），b=（8，m），且a∥b，∴4m=3×8，∴m=6；故答案为：6． 【名师点睛】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键．
2．（2024?白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=__________． 【答案】
rrrrrrrrrrrr81或 54180??80?=50°， 2【解析】①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：∴特征值k=
80?8?； 50?5②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°–80°–80°=20°，
20?1?； 80?481综上所述，特征值k为或；
5481故答案为或．
54∴特征值k=
【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
23.我们定义：对于抛物线y?ax?bx?c?a?0?，以y轴上的点M?0,m?为中心，作该抛物线关于点M对称
的抛物线y'，则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”，若抛物线
y??x2?2x?5关于点?0,m?的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，则m的取值范围是______.
【答案】m≤5 【解析】 【分析】
先求出抛物线的顶点坐标（-1，6），进而利用待定系数法求出衍生抛物线的解析式，联立即可得出结论； 【详解】
解∵抛物线y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6①， ∴抛物线的顶点坐标为（-1，6），
∴抛物线的顶点坐标（-1，6）关于（0，m）的对称点为（1，2m-6）， 即：新抛物线的顶点坐标为（1，2m-6）， 设衍生抛物线为y′=a（x-1）2+2m-6，
∵抛物线y=-x2-2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′， ∴a=1，
∴衍生抛物线为y′=（x-1）2+2m-6=x2-2x+2m-5②， 联立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5， 整理得，2x2=10-2m， ∵这两条抛物线有交点， ∴10-2m≥0， ∴m≤5； 【点睛】
此题主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键．
4.（2024?河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即4+3=7．
则（1）用含x的式子表示m=__________；
（2）当y=–2时，n的值为__________． 【答案】（1）3x；（2）1．
【解析】（1）根据约定的方法可得：m=x+2x=3x；故答案为：3x； （2）根据约定的方法即可得x+2x+2x+3=m+n=y． 当y=–2时，5x+3=–2． 解得x=–1． ∴n=2x+3=–2+3=1． 故答案为：1．
【名师点睛】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．
5.（2024?湖北宜昌?3分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=的面积为S=a?b?c，那么三角形2p(p?a)(p?b)(p?c)．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，
若a=5，b=6，c=7，则△ABC的面积为 A．66
B．63 C．18
D．
19 2
【答案】A
【解析】∵a=7，b=5，c=6，∴p=
5?6?7=9， 2∴△ABC的面积S=9?(9?5)?(9?6)?(9?7)=66．故选A．
【名师点睛】考查了二次根式的化简，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
6.（2024?山东临沂）一般地，如果x4=a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±4a，若4m4=10，则m=__________． 【答案】±10
【解析】∵4m4=10，∴m4=104，∴m=±10．故答案为：±10．
【名师点睛】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
2024中考数学压轴题全揭秘精品专题18 创新型与新定义综合问题(含答案解析)
