∴双曲线y=1的对径是22. x（2）∵双曲线的对径为102，即AB＝102，OA＝52. ∴OA＝2OC＝2AC，∴OC＝AC＝5. ∴点A坐标为(5，5). 把A(5，5)代入双曲线y=（3）若双曲线y=k (k＞0)得k＝5×5＝25，即k的值为25. xk (k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线xy=k (k＜0)的对径. x考点：1.新定义；2.反比例函数综合题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理. 【考点4】变换操作类阅读型问题
【例4】．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四
边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 、 ；
(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点）O?0,0?、A?3,0?、B?0,4?，点C 为图中所给方格中的另一个格点，四边形OACB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C 的坐标；
(3)如图2，将?ABC（ BC ? AB ）绕顶点 B 按顺时针方向旋转60?，得到?DBE ，连接 AD 、DC ，四边形 ABCD 是勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边，求?DCB 的度数.
. 【答案】（1）矩形，正方形（答案不唯一）；（2）C（3,4），（4,3）；（3）∠DCB=30°【解析】 【分析】
（1）根据矩形与正方形的性质可得答案；
（2）利用勾股定理可得AB=5，然后在格点中找满足OC=5的点即可；
（3）连接CE，根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE，则BC=BE，因为∠CBE=60°，所以△BCE是等边三角形，则BC=CE，∠BCE=60°，根据勾股四边形的定义与勾股定理的逆定理可得∠DCE=90°，则可得∠DCB
的度数. 【详解】
解：（1）矩形；正方形（答案不唯一）； （2）
，
则C点坐标如图为：（3,4），（4,3）；
（3）连接CE，
由旋转的性质得：△ABC≌△DBE，则BC=BE，AC=BD， ∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形， ∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵四边形ABCD为勾股四边形，其中DC、BC为勾股边， ∴∴
∴∠DCE=90°，
=30°. ∴∠BCD=∠DCE﹣∠BCE=90°﹣60°
， ，
【点睛】
本题主要考查勾股定理及其逆定理，全等三角形-旋转，等边三角形的判定等，解此题的关键在于准确理解题中勾股四边形的定义，利用勾股定理及其逆定理进行证明.与计算.
【变式4-1】1．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1） 概念理解：
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件： ． （2） 问题探究：
如图2，小红画了一个Rt?ABC，其中?ABC?90?，AB?2，BC?1，并将Rt?ABC沿?B的平分线
BB?方向平移得到?A'B'C'，连结AA?、BC?．小红要使平移后的四边形ABC?A?是“等邻边四边形”，应
平移多少距离（即线段BB?的长）？ （3） 应用拓展：
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB?AD，?BAD??BCD?90?，AC、BD为对角线，
AC?2AB．试探究BC、CD、BD的数量关系．
【答案】（1）DA=AB（答案不唯一）；（2）应平移2或5或2或【解析】
试题分析：（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；
（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论； ②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；
（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．
解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）； （2）①正确，理由为：
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形， ∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，
，再利用“等邻边四边
14?2的距离；（3）BC2+CD2=2BD2． 2∴这个“等邻边四边形”是菱形； ②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=
，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；
，
（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=
；
（III）当A′C′=BC′=
时，
如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，
∵BB′平分∠ABC， ∴∠ABB′=∠ABC=45°， ∴∠BB′D=′∠ABB′=45° ∴B′D=B， 设B′D=BD=x， 则C′D=x+1，BB′=
x，
∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2
∴x2+（x+1）2=（）2，
解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去）， ∴BB′=
x=
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，
设B′D=BD=x， 则x2+（x+1）2=22， 解得：x1=∴BB′=
x=
，x2=
；
（不合题意，舍去），
（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，
∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF， ∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD， ∴∠BAD=∠CAF，∴△ACF∽△ABD， ∴
=
=
，∴
BD， =
=1，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，
2024中考数学压轴题全揭秘精品专题18 创新型与新定义综合问题(含答案解析)
