∵f（x1）–f（x2）=
x1?x211?x??x=xx1（–）（–121222） x12x2x12x2∵x1 ∴f（x1）–f（x2）<0，∴f（x1） 1+x（x<0）是增函数． 2x【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 【考点3】函数类新定义综合型问题 【例3】（2024·江西）特例感知 222（1）如图1，对于抛物线y1??x?x?1，y2??x?2x?1，y3??x?3x?1，下列结论正确的序号 是_________； ①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)； ②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移 1个单位得到； 2③抛物线y1，y2，y3与直线y?1的交点中，相邻两点之间的距离相等. 形成概念 2（2）把满足yn??x?nx?1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”. 知识应用 在（2）中，如图2. ①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式； ②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，Cn，其横坐标分别为：?k?1，?k?2，?k?3，…，?k?n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由. Cn?1An?1，…，An，③在②中，直线y?1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，连接CnAn，判断CnAn，Cn?1An?1是否平行？并说明理由. 【答案】（1）①②③ ?nn2?2（2）①Pn??,?1?，y?x?1． ?24?②相邻两点之间的距离相等，相邻两点距离为1?k2． ③不平行，直线CnAn的斜率（比例系数）为k?n，与n取值有关(若两直线平行，则斜率会相等). 【解析】（1）①当x=0,y1?y2?y3?1，所以正确； ②y1,y2,y3的对称轴分别是直线x1??，x2??1，x3??，所以正确； ③y1,y2,y3与y?1交点（除了点C）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确． 2?nn2?4?n?n2?4?（2）①yn??x?nx?1???x???，所以顶点Pn??,?， 4?2?4??2212322nn2?4?n?n?4?????1?x2?1， 令顶点Pn横坐标x??，纵坐标y?，y?244?2?2即：Pn顶点满足关系式y?x?1. 2②相邻两点之间的距离相等． 理由：根据题意得；Cn?k?n,?k?nk?1，Cn?1?k?n?1,?k?nk?k?1， ∴CnCn–1两点之间的铅直高度=?k?nk?k?1??k?nk?1?k． CnCn–1两点之间的水平距离=?k?n?1?(?k?n)?1． ∴由勾股定理得CnCn–12=k2+1， ∴CnCn–1=k2?1. ③CnAn与Cn?1An?1不平行． 理由： 根据题意得：Cn?k?n,?k?nk?1，Cn?1?k?n?1,?k?nk?k?1， 2?2??2??2??2??2?An??n,1?，An?1??n?1,1?． 过Cn，Cn–1分别作直线y=1的垂线，垂足为D，E， 所以D（–k–n，1），E（–k–n+1，1）. 在Rt△DAnCn中， 2CnD1???k?nk?1?k2?nktan∠DAnCn=???k?n， AnD?n?(?k?n)k在Rt△EAn–1Cn–1中， 2Cn?1E1???k?nk?k?1?k2?nk?ktan∠EAn–1Cn–1=???k?n?1， An?1E?n?1?(?k?n?1)k∵k?n?1≠k?n， ∴tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1， ∴CnAn与Cn?1An?1不平行． 【变式3-1】（2024?山东威海）（1）阅读理解 1的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的x1垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y=的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1 x如图，点A，B在反比例函数y=（n>1）． 小红通过观察反比例函数y=AE+BG=2CF，CF>DF， 由此得出一个关于 1的图象，并运用几何知识得出结论： x112，，，之间数量关系的命题： n?1n?1n若n>1，则__________． （2）证明命题 小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题． 小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题． 请你选择一种方法证明（1）中的命题． 111，BG=，DF=， n?1n?1n112112+>．故答案为：+>． ∴ n?1n?1nn?1n?1n【解析】（1）∵AE+BG=2CF，CF>DF，AE= 2112n2?n?n2?n?2n2?2+=（2）方法一：∵﹣=， n(n?1)(n?1)n(n?1)(n?1)n?1n?1n∵n>1，∴n（n﹣1）（n+1）>0， 112112++>． ﹣>0，∴n?1n?1nn?1n?1n11?112n2n?1n?1=2>1，∴+>． 方法二：∵ 2n?1n?1nn?1n∴ 【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式3-2】定义：如图，若双曲线y??k>0?与它的其中一条对称轴y?x相交于两点A，B，则线段 AB的长称为双曲线y?kxk?k>0?的对径． x （1）求双曲线y?1的对径; xk?k>0?对径是102.求k的值; xk?k<0?的对径. x（2）若某双曲线y?（3）仿照上述定义,请你定义双曲线y?【答案】（1）22；（2）25；（3）定义见解析. 【解析】 ?k?y=试题分析：过A点作AC⊥x轴于C，（1）解方程组?x，可得到A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1， ??y=x1－1)，即OC＝AC＝1，由勾股定理可求AB，于是得到双曲线y=的对径； x（2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为102，即AB＝102，OA＝52，根据OA＝2OC k (k＞0)即可得到k的值；xkk（3）双曲线y= (k＜0)的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线y=（k＜0) xx＝2AC，则OC＝AC＝5，得到点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y=的对径. 试题解析：如图，过A点作AC⊥x轴于C， ?k?x1=1?x2=?1?y=， ?（1）解方程组?x，得?，∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1). y=1y=?1?1?2??y=x∴OC＝AC＝1，∴OA＝2OC＝2. ∴AB＝2OA＝22.
2024中考数学压轴题全揭秘精品专题18 创新型与新定义综合问题(含答案解析)
