2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆学案文
[知识梳理] 1．椭圆的定义
(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，
c为常数．
注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 续表
3．直线与椭圆位置关系的判断
直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：
(1)Δ>0?直线与椭圆相交； (2)Δ＝0?直线与椭圆相切； (3)Δ<0?直线与椭圆相离． 4．弦长公式
(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k|x1－x2|＝
1
1＋2|y1－y2|.
2
2
k2b(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.
2
a5．必记结论
x2y2
(1)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点
ab在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a. [诊断自测] 1．概念思辨
(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx＋ny＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
2
2
x2y2y2x2
(4)2＋2＝1(a>b>0)与2＋2＝1(a>b>0)的焦距相同．( ) abab答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化
x2y2
(1)(选修A1－1P35例3)已知椭圆的方程是2＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，
a25
且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )
A．10 C．241 答案 D
解析 因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a－25＝4，解得a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝441.故选D.
(2)(选修A1－1P42A组T6)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦
54点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．
答案 ?
2
2
B．20 D．441
x2y2
?15??15?
，1?或?，－1? ?2??2?
2
2
2
解析 设P(x，y)，由题意知c＝a－b＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，1515
把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，
5422
∴P点坐标为?3．小题热身
x2y2
?15??15?
，1?或?，－1?. ?2??2?
x2y23
(1)(xx·大纲卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，
ab3
过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为( )
A.＋＝1
32C.
＋＝1 128
x2y2x2
B.＋y＝1 3D.
＋＝1 124
x2
2
y2x2y2
答案 A
解析 由题意及椭圆的定义知4a＝43，则a＝3，又＝∴C的方程为＋＝1，故选A.
32
cac3
＝32
，∴c＝1，∴b＝2，3
x2y2
x2y2
(2)椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(xab＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
答案
3－1
解析 由已知得直线y＝3(x＋c)过M，F1两点，所以直线MF1的斜率为3，所以∠MF1F2
＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，则MF1＝c，MF2＝3c，由点M在椭圆Γ上知：
cc＋3c＝2a，故e＝＝3－1.
a
题型1 椭圆的定义及应用
2
2
xy
已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个典例12516
焦点F2的距离为( )
A．2 C．5
B．3 D．7
应用椭圆的定义．
答案 D
解析 根据椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，得|PF2|＝7，故选D.
[条件探究] 若将典例中的条件改为“F1，F2分别为左、右焦点，M是PF1的中点，且|OM|＝3”，求点P到椭圆左焦点的距离？
解 由M为PF1中点，O为F1F2中点，易得|PF2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF1|＝4.
x 2 (xx·漳浦县校级月考)椭圆＋y＝1上的一点P与两焦点F1，F2所构成的三典例24
角形称为焦点三角形．
2
→→
(1)求PF1·PF2的最大值与最小值； θ
(2)设∠F1PF2＝θ，求证：S△F1PF2＝tan. 2
(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函
数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．
解 (1)设P(x，y)，∴F1(－3，0)，F2(3，0)，
32→→22
则PF1·PF2＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x＋y－3＝x－2，
4322
∵x∈[0,4]，∴x－2∈[－2,1]．
4→→
∴PF1·PF2的最大值为1，最小值为－2.
(2)证明：由椭圆的定义可知||PF1|＋|PF2||＝2a， |F1F2|＝2c，设∠F1PF2＝θ， 在△F1PF2中，由余弦定理可得：
|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1|·|PF2|cosθ ＝(|PF1|＋|PF2|)－2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)，
2b可得4c＝4a－2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)?|PF1|·|PF2|＝，
1＋cosθ
2
2
2
2
2
2
2
1sinθθθ22
即有△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝b·＝btan＝tan. 21＋cosθ22方法技巧
椭圆定义的应用技巧
1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．
2．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．见典例2.
冲关针对训练
?1??1?22
1．已知A?－，0?，B是圆?x－?＋y＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线
?2??2?
2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆学案文
