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江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛
本科竞赛试题（有改动）
一、填空题（每小题5分，共50分）
1.函数
y?sinxsinxx?（其中
?2）的反函数为________________________。
nxxx?03x?4sinx?sinxcosx2.当时，与为同阶无穷小，则n?____________。
3.在x?1时有极大值6，在x?3时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
dn(1?xm)np(x)?dxn4.设，m,n是正整数，则p(1)?________________。
?5.
??[x?cos(x)]sinxdx?2?22_______________________________。
26. 若函数x?x(t)由
t??e?tdt?01x所确定的隐函数，则
d2x?2dtt?0 。
xyyy?y????()lnxxx有特解7.已知微分方程，则?(x)?________________________。
?x?2z?y?1绕z轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
8.直线?v??????????a?3b7a?5ba?4b7a?2baa9.已知为单位向量，垂直于，垂直于，则向量、b的夹
角为____________。
1n??12lim??1?2n?????n10.
二、（7分）
??22????1?n2????????n2??1?n2????????? 。
?a?a??2,设数列n满足n 精品文档
an?1?an?2,n?1，求n??liman。
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?三、（7分）求c的值，使a
b(x?c)cos(x?c)?0，其中b?a。
222222x?y?cz,x?y??a,xy??b四、（12分）求由曲面和z?0所围区域的体积（其中
a,b,c为正实数）。
五、（12分）一点先向正东移动am,然后左拐弯移动aqm（其中0?q?1），如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的q倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？ 精品文档
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六、（12分）已知f(x)在[0,2]上二次连续可微,f(1)?0,证明其中
?201f(x)dx?M3，
M?maxf??(x)x?[0,2].
江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛
本科一级竞赛试题（有改动）
一、填空题（每小题5分，共50分）
11??1??L????lim4n?14n?24n?2n?________________. 1. n????x?(t?1)cosz?z??y?tsinz??xz2.设是由方程组确定的隐函数，则____________________。
f(x)?(x?3x?2)cos3.设
2n?x2(n)16，则f(2)?________________。
4．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为
y1?xexcos2x，则通解为_______________。
x2y2?2?12Ax?By?Cz?0(C?0)(A,B?0)相交成的椭圆面积为____。ab5. 平面与柱面 r?r?rrrlimb?2(a,b)?a,b3，6.已知是非零常向量，则x?0?rrra?xb?ax?___________________。
7.
?201dx?1?(cotx)3_______________________。
222x?2y?4z?1与平面x?y?z?7?0之间的最短距离为______________。 8.椭球面
二、（8分）试比较?与e的大小。 精品文档
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三、（10分）已知a,b满足
?baxdx?12y?x?ax与直线y?bx所0?a?b2，（），求曲线
围区域的面积的最大值与最小值。
222x?y?t,(t?0)，f(x,y)在D上连续。求证： D四、（10分）设区域：
limt?01t2??f(x,y)dxdy?Df(0,0)。
1?xcosx?x(1?xesinx)dx五、（10分）求不定积分。
?2u?2u?2u?6?42?02?x?y?x?y??x?ay,??x?by六、（10分）通过线性变换将方程化简成
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?2u?0????，求a,b的值。
七、（12分）已知f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数，且f(0)?f(1)?0,f(x)?0,
证明：
?10f??(x)dx?4maxf(x)x?[0,1]。
江苏省第三届（1996年）高等数学竞赛 本科三级、专科竞赛试题（有改动）
一、填空题（每小题5分，共40分）
1.若a?0，
1t2?limdt?lim[sin(?x)tan3x]?x?0x?sinx???6a?tx?06x，则a?____________.
2.若f(x)?x(2x?1)(3x?2)??(100x?99),则f?(0)?________________. 111a(x?)b2为等价无穷小，则 3.已知当x大于2且趋向于2时，?-3arccosx与
a?_____________,b?_______________.
4.
?2?1xe?|x|dx?___________________________.
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