2011～2012初中培优竞赛讲义（初三组）
第4讲 二次函数竞赛训练题
1．二次函数y?x?bx?c的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则b?2c? ．
2．在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线y?ax?b上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F.试求a,b的值使得AD+BE+CF达到最大值.
3.（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．
4.已知直线y??2x?3与抛物线y?x相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。
5.（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x?轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为________．
6.设抛物线y?x??2a?1?x?2a?22
2
2
2
22518?6的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求a?323a的值. 4
7. 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当0?x?10时，图象是抛物线的 一部分，当10?x?20和20?x?40时，图象是线段.
（1）当0?x?10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式； （2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排， 使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
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8．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的．．流量最大．
初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，?水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，?他们对水槽的横截面进行了如下探索： （1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a）．
若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b）．若∠ABC=120°，?请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，?使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．
9．如图，抛物线y?ax?bx(a?0)与双曲线y?
22
k
相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第x
三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满 足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
10.如图，抛物线y?mx?2mx?3m?m?0?与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.
2（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.
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11．已知抛物线y?x与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1)，(x2,y2)，且x1?x2?t?2t?3. （1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.
12.已知a?0，b?0，c?0，且b2?4ac?b?2ac，求b?4ac的最小值.
22222
13. 在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数y?x?x?A.59 B.120 C.118 D.60
14. 在直角坐标系中，抛物线y?x?mx?分别为OA，OB，且满足
15. Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）
（A）h<1 （B）h=1 （C）1
16. 设0＜k＜1，关于x的一次函数y?kx?221的函数值中整数的个数是( ) 2232m(m?0)与x轴交于A，B的两点.若A，B两点到原点的距离4112??，则m=__ ___. OBOA31(1?x)，当1≤x≤2时的最大值是（ ） k111（A）k （B）2k? （C） （D）k?
kkk
17. 平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数y?个数是 （ ）
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
18. 函数y?2x?4x?1的最小值是 ．
19.对ab?0，a?b，二次函数y?(x?a)(x?b)的最小值为 A. (
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22x?12的图象上整点的2x?12（ ）
a?b2) 2B. ?(a?b2a?b2) C. () 22D. ?(a?b2) 2
二次函数中的竞赛题
