九年级总复习知识点总结-------圆
1.垂径定理及推论: 几何表达式举例： 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个∵ CD过圆心 定理， ∵CD⊥AB 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. C平分优弧∴ AE=BE =BC ACO过圆心 AD=BDE垂直于弦 AB平分弦平分劣弧 D2.平行线夹弧定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等. AOCDB几何表达式举例： ∵ AB∥CD ∴ AC=BD3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； B“等角对等弧”； “等弧对等角”； EA“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. FC D O几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图) CAC DABOO BBC A（1） （2）（3） （4） 5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补， 并且任何一个外角都等于 它的内对角. CB几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=12∠AOB ∴ …………… （2） ∵ AB是直径 ∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90° ∴ AB是直径 （4） ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC是RtΔ ADE几何表达式举例： ∵ ABCD是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 几何表达式举例： （1） ∵OC是半径 ∵OC⊥AB 是半径∴AB是切线 垂直（2） ∵OC是半径 是切线1
6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； AOBC
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径； ※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一 P点的连线平分两条切线的夹角. A∵AB是切线 ∴OC⊥AB （3） …………… 几何表达式举例： ∵ PA、PB是切线 ∴ PA=PB ∵PO过圆心 ∴∠APO =∠BPO 几何表达式举例： （1）∵BD是切线，BC是弦 ∴∠CBD =∠CAB （2） ∵ EF=AB∵ ED，BC是切线 ∴ ∠CBA =∠DEF 几何表达式举例： （1） ∵PA·PB=PC·PD ∴……… （2） ∵AB是直径 ∵PC⊥AB 2∴PC=PA·PB OB8．弦切角定理及其推论: （1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； （2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图） D ACEFA9．相交弦定理及其推论: DBCB（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. DC A PBAOPBC 10．切割线定理及其推论: （1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； （2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. BB A ADP C11．关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. A AO1O2 O1O2B（1） （2） PC几何表达式举例： （1） ∵PC是切线， PB是割线 2∴PC=PA·PB （2） ∵PB、PD是割线 ∴PA·PB=PC·PD 几何表达式举例： （1） ∵O1，O2是圆心 ∴O1O2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切 ∴O1 、A、O2三点一线 2
12．正多边形的有关计算: （1）中心角?n ，半径RN ， 边心距rn ， D 边长an ，内角?n ， 边数n； R（2）有关计算在RtΔAOC中进行. n公式举例： O?n rnE(1) ?n =(2) ?n2360?n； ?n CBA?180?nan
几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高
三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理：
1．不在一直线上的三个点确定一个圆.
O2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形. BA三 公式：
1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=（4）扇形面积S扇形 =
n?R3602n?R180；（3）圆的面积S=πR.
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?12LR；（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如
图）
2.圆柱与圆锥的侧面展开图：
（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)
（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =
12LR. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）
四 常识：
1． 圆是轴对称和中心对称图形.
2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3． 三角形的外心 ? 两边中垂线的交点 ? 三角形的外接圆的圆心；
三角形的内心 ? 两内角平分线的交点 ? 三角形的内切圆的圆心. 4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）
直线与圆相交 ? d＜r ； 直线与圆相切 ? d=r ； 直线与圆相离 ? d＞r. 5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径
且R≥r）
两圆外离 ? d＞R+r； 两圆外切 ? d=R+r； 两圆相交 ? R-r＜d＜R+r； 两圆内切 ? d=R-r； 两圆内含 ? d＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.
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7．关于圆的常见辅助线： OCCABOAOBO 已知弦构造弦心距. ACB 已知弦构造RtΔ. AB 已知直径构造直角. 已知切线连半径，出垂直. ADADPCCOOBAOPBODPAB 圆外角转化为圆周角. M 圆内角转化为圆周角. CB 构造垂径定理. DCP构造相似形. MABN01MMBAO102AAO2D02O2D01NO1CCEE 两圆内切，构造外公切线与垂直. ACEDB 两圆内切，构造外公切两圆外切，构造内公线与平行. 切线与垂直. AN N 两圆外切，构造内公切线与平行. AOO1BAC02CPOEODB 两圆相交构造公共弦，两圆同心，作弦心距，连结圆心构造中垂线. 可证得AC=DB. BAB C PA、PB是切线，构造双垂图形和全等. 相交弦出相似. AADAOECOBOPCBFE 一切一割出相似, 并且构造弦切角. PBPCDC 两割出相似,并且构造圆周角. 双垂出相似,并且构造直角. 规则图形折叠出一对全等，一对相似. 4
DEC AHAADOFOEOFDOAGB BC 圆的外切四边形对边和相等. B 若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线. DC 等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形. RtΔABC的内切圆半径：r=a?b?c2CEB. ABACOCo1o2o1o2B 补全半圆. AB=AC O1O2?(R?r)22. DAB=O1O2 ?(R?r)22. AGFMCODBP PAOB 作AN⊥BC，可证出: GFBC?AMANBDNEC PC过圆心，PA是切线，构造 双垂、RtΔ.
O是圆心，等弧出平行和相似. . 5
九年级数学圆知识点总结北师大版
