专题 最短路径求最值问题
最短路径，求最值问题，已知都是考试的高频考点，而且求最值问题的各种变式题型特别多，但是不管怎么变，不外乎两个常用的性质定理:一个是，两点之间线段最短。二个是，垂线段最短。其实大多数求最值的问题，都是把看似复杂的问题，通过转化成简单的常见问题，在用这两个定理来解决。今天总结了这么13个模型，大家可以保存，转发，打印下来。我们可以一起探讨，相互学习。比如将军饮马问题，比如造桥选址问题，比如费马点，比如圆外任意一点到圆的最近和最远问题。在这13个模型之后详解之后，还附有30到常 见考试题型，最后有参考答案。
求最值(最短路径问题) 13个模型30 道培优考题
1.如图，在直线上取一点P使得PA+PB最小?连接AB与直线交于点P即可.两点异侧:
2.将军饮马问题:如图，在直线上取一点P使得PA+PB最小?作点B关于直线的对称点B’，连接AB'与直线交于点P即可.两点同侧:
3.如图，在直线上取一点P使得|PA-PB|最大?连接AB并与直线交于点P即可。两点同侧:
4.如图，在直线上取一点P使得|PA-PB|最大?作点B关于直线的对称点B' ,连接AB'并与直线交于点P即可。两点异侧:
5.点A在∠0的内部，在角的两边上分别取两个点M、N使得AAMN的周长最小?分别作点A关于角两边的对称点A’，A''。连接A'A'，并与角的两边分别交于点M,N即可.
6.点A, B如图所示，在两条直线上分别取两个点P, Q使得AP+PQ+QB最小?连接AB并与两条直线分别交于点P, Q即可.
7.点A，B如图所示，在两条直线上分别取两个点P，Q使得AP+PQ+QB最小?作点A的对称点A',连接A'B并与两条直线分别交于点P, Q即可.
8.点A, B如图，在两条直线上分别取两个点P, Q使得AP+PQ+QB最小?分别作点A, B的对称点A’，B'，连接A'B'并与两条直线分别交于点P，Q即可.
第8种情况常见的变形:
9.点A的位置如图所示，点B是水平直线上的一个动点，点P在另外一条直线上，如何确定点P与B的位置，使得AP+PB最小?过点A作垂线段AB垂直于水平的直线，垂足为B, AB与另一直线的交点P即为所求。
第9种情况常见变形:还有如下图的变形.当点A位于两直线之间时，先作点A的对称点，再作垂线段即可.
10. 如图，点A、B位于直线的上方，点C、D在直线上且CD长度等于定值a,如何确定点C、D的位置使得AC+BD最小?
以A、C、D为边构造平行四边形ACDA'，并作点B的对称点B’，连接A'B'，与直线交于点D'即可确定CD的位置。
11.造桥选址问题:分别以两条平行的直线代表一条河的两岸，河两岸分别是A村和B村，现在准备在河上修座桥MN (桥垂直河岸) ，问修在哪个位置， 从A村到B村的路程最短?做平行四边形AMNC,连接NC,交直线于N' ,点N'就是修桥的位置)
12.如图，∠BOC=90°，△ABC的两个顶点B, C分别在OB和0C.上，求OA的最大值?
取BC的中点M，分别连接0M，AM。当A, M, 0三点共线时，OA最大。
13.在O0外有一点P,分别求出P点到00上距离最近和最远的点?连接OP,交00于点A,此时PA是最小值;(反向延长PO，交00于点B,此时PB就是最大值.)
课后巩固练习20题(常见考题)
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ,AC=6, BC=8, AD是∠BAC的平分线，若P,Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值.
2. (2015绥化中考)如图，在矩形ABCD中，AB=10, BC=5.若点M, N分别是线段AC, AB. 上的两个动点，求BM+MN的最小值.
3. (2016贵阳)如图，正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1, N为对角线AC上任意-一点，求DN+MN的最小值.
4.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，PM+PN的最小值是_
5.已知，矩形ABCD, AB=3,AD=4,点P在AD边上移动，点Q在BC边上移动，求BP+PQ+QD的最小值是
6.如图，Rt△ABC中，AB_ LBC, AB=6, BC=4, P是△ABC内部的一动点，且满足∠PAB=∠PBC,求线段CP长的最小值.
7.如图，在矩形ABCD中，AB=3, AD=4, 点E是边BC的中点，连接AE,与对角线BD交
于点F,点M是AD边上的一个动点，连接MF、MC，则MF+MC的最小值为
8.如图，正方形ABCD的边长为15,点E在CD上，CE=3,点F是直线AD. 上不与A、D重合的一个动点，将△DEF沿EF折叠，使点D落在点G处，则线段BG的最小值为
9.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E、F在对角线AC .上，点E在F的左侧，且EF=1,求DE+BF的最小值是_
10. (2024广东深圳期末)如图，直线y=x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是0B的中点，D、E分别是直线AB和y轴上的动点，则ACDE周长的最小值是__.
11.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°, BC=4, D为AB垂直平分线与AC的交点，P为AB上的动点，连接PD、PC.求PD+PC的最小值.
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3, BC=4, D是斜边AB的中点，E、F分别是直线AC、BC上的动点，∠EDF=90° , 则线段EF长度的最小值是
13.如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是_ .
专题 最短路径求最值问题
