一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图所示，求系统的固有频率。
解：取圆柱体的转角?为坐标，逆时针为正，静平衡位置时??0，则当m有?转角时，系统有：
1211I??m(?r)2?(I?mr2)?2 2221U?k(?r)2
2ET? 由d(ET?U)?0可知：(I?mr2)??kr2??0 即：?n?kr2/(I?mr2) （rad/s）
均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。
求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且k2?2k1,k3?k1。
解：取m的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点x?0，则当m有x位移时，系统有：
ET?1mx2 21256k1k2） k1?k2 U?kx2?k1x2?k1x2 （其中：k?5312 由d(ET?U)?0可知：mx?k1x?0
5k13m（rad/s），T?2? （s） 3m5k1 即：?n?
如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。
解：设物体重量W，摆角坐标?如图所示，逆时针为正，当系统有?摆角时，则：
?22 U?W(R?r)(1?cos?)?W(R?r)
设?为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：
?c?(R?r)??r?，即：??(R?r)? r记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为IA，则：
IA?IC?W21W2W2r?r?r g2ggET?113W2R?r23WIA?2?(r)(?)?(R?r)2?2 222gr4g（或者理解为：ET?Ic?2?121W转动和平动的动能） (R?r)2?2，
2g由d(ET?U)?0可知：
3W(R?r)2??W(R?r)??0 2g 即：?n?2g（rad/s）
3(R?r)
机械振动课后习题和答案第二章习题和答案
