弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为?。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3?，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m，弹簧刚度为k，则：
mg?k?，即：?n?k/m?g/?
取系统静平衡位置为原点x?0，系统运动方程为：
?mx?kx?0? （参考教材P14） ?x0?2??x0?0?
解得：x(t)?2?cos?nt
弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长?0.85?0.65?0.2(m)
g9.8?7(rad/s) 0.2所以：?n??取系统的平衡位置为原点，得到： 系统的运动微分方程为：x??n2x?0
?x(0)??0.2 （参考教材P14）
?x(0)?0其中，初始条件：?所以系统的响应为：x(t)??0.2cos?nt(m)
弹簧力为：Fk?kx(t)?mgx(t)??cos?nt(N)
因此：振幅为、周期为
2?(s)、弹簧力最大值为1N。 7
重物m1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物
m2从高度为h处自由落到m1上而无弹跳，如图所示，求其后的运
动。
解：取系统的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点
x?0，则当m有x位移时，系统有： E12T?2(m1?m2)x
U?1kx22
由d(ET?U)?0可知：(m1?m2)x?kx?0 即：?n?k/(m1?m2) ?x?m2g?0km系统的初始条件为：? 2x??2gh?0m1?m2?（能量守恒得：m2gh?(m1?m2)x02） 因此系统的响应为：x(t)?A0cos?nt?A1sin?nt
?A?x?m2g0?0k其中:?x0m2gA????1?nk?12
2ghk m1?m2即：x(t)?m2g2ghk(cos?nt?sin?nt) km1?m2
机械振动课后习题和答案第二章习题和答案
