第4讲 函数及其表示
课时达标
一、选择题
1．函数y＝ln(x－x)＋4－2的定义域为( ) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)
??x－x>0，
B 解析 由已知得?x?4－2≥0?
2
2
xB．(－∞，0)∪(1,2] D．(－∞，2)
??x<0或x>1，
??
?x≤2?
?x∈(－∞，0)∪(1,2]．故选B．
2．(2024·广州模拟)设函数f(x)满足f ?2
A． 1＋x1－xC．2 1＋x2
?1－x?＝1＋x，则f(x)的表达式为( )
??1＋x?
2B．2 1＋x1－xD． 1＋x1－x1－t?1－x?＝1＋x，得f(t)＝1＋1－t＝2，
A 解析 令＝t，则x＝，代入f ??1＋x1＋t1＋t1＋t?1＋x?2即f(x)＝.故选A．
1＋x??cos πx，x≤1，
3．已知f(x)＝?
?fx－1＋1，x>1，?
?4??4?则f ??＋f ?－?的值为( )
?3??3?
1B．－
2D．1
1A． 2C．－1
1?4??4???4???4?1
D 解析 f ??＋f ?－?＝cos??－1?π?＋1＋cos?－π?＝＋1－＝1.
2?3??3???3???3?21?????2?x，x≤0，
4．已知函数f(x)＝???
??log3x，x>0，1
A． 2C．3
设a＝log1 3，则f(f(a))＝( )
2B．2 D．－2
1
A 解析 －1 5．(2024·福州调研)设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 019)＝ ( ) A．0 B．1 C．2 019 D．2 020 D 解析 令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 019)＝2 020. 1，x＞0，?? 6．设x∈R，定义符号函数sgn x＝?0，x＝0， ??－1，x＜0，A．|x|＝x|sgn x| C．|x|＝|x|sgn x 则( ) B．|x|＝xsgn |x| D．|x|＝xsgn x D 解析 当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C项．故选D． 二、填空题 7．若函数f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝ f2x－1 的定义域是________． lgx－1 解析 因为y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，所以－1≤x＋1≤4，即f(x)的定义域是[－－1≤2x－1≤4?? 1,4]，所以?x－1>0， ??x－1≠1， 5 解得1 2 ?5?答案 (1,2)∪?2，? ?2? 2－1，x≤0，?? 8．函数f(x)＝?1 ??x2 ，x>0， ??a≤0， 解析 由已知得?a?2－1>3? x 若f(a)>3，则a的取值范围是________． a>0，?? 或?1??a2 >3， 2 解得a>9. 答案 (9，＋∞) 9．(2024·常州中学月考)若函数y＝是________． 解析 因为函数y＝ ax＋1 的定义域为R，则实数a的取值范围 ax＋2ax＋3 ax＋12 的定义域为R，所以ax＋2ax＋3＝0无实数解，即函数 ax＋2ax＋3 2u＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．当a＝0时，函数u＝3的图象与x轴无交点；当a≠0 时，则Δ＝(2a)－4·3a＜0，解得0＜a＜3.综上所述，a的取值范围是[0,3)． 答案 [0,3) 2 三、解答题 ??ax＋b，x<0， 10．设函数f(x)＝?x??2，x≥0， 且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象． ??－2a＋b＝3， 解析 (1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得? ??－a＋b＝2，??－x＋1，x<0， 解得a＝－1，b＝1，所以f(x)＝?x?2，x≥0.? (2)f(x)的图象如图所示． ??x－1，x＞0， 11．(2024·巴蜀中学期中)已知f(x)＝x－1，g(x)＝? ?2－x，x＜0.? 2 (1)求f(g(2))与g(f(2))； (2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式． 解析 (1)由已知条件可得g(2)＝1，f(2)＝3，因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2. (2)当x＞0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)－1＝x－2x；当x＜0时，g(x)＝2 ??x－2x，x＞0， －x，故f(g(x))＝(2－x)－1＝x－4x＋3.所以f(g(x))＝?2 ??x－4x＋3，x＜0. 2 2 2 2 2 当x＞1或 x＜－1时，f(x)＞0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；当－1＜x＜1时，f(x)＜0，故g(f(x)) ??x－2，x＞1或x＜－1，2 ＝2－f(x)＝3－x.所以g(f(x))＝?2 ?3－x，－1＜x＜1.? 2 2 12．已知函数f(x)＝x＋mx＋n(m，n∈R)，f(0)＝f(1)，且方程x＝f(x)有两个相等的实数根．
2024版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第4讲 函数及其表示课时达标 理(含解析)新人教A版
