离散数学形成性考核作业参考答案
作业一
第1章 集合及其运算
1．用列举法表示 “大于2而小于等于9的整数” 集合． {3,4,5,6,7,8,9}。
2．用描述法表示 “小于5的非负整数集合” 集合． {x∣x∈Z∧0≤x≤5}。
3．写出集合B={1, {2, 3 }}的全部子集． { }，{1}，{{2, 3 }}，{1, {2, 3 }}。
4．求集合A={?,{?}}的幂集．
Φ，{Φ}，{{Φ}}，{Φ，{Φ}}。
5．设集合A={{a }, a }，命题：{a }?P(A) 是否正确，说明理由． 错误。 P(A)中无元素a。
6．设A?{1,2,3},B?{1,3,5},C?{2,4,6},求 (1)A?B (2)A?B?C (3)C - A (4)A?B （1）{3}；（2）{1，2，3，4，5，6}；（3）{4，6}；（4）{2，5}。 7．化简集合表示式：((A?B )?B) - A?B．
((A∪B )∩ B) - A∪B =（ B- A）∪B = （B∩～ A）∪B = B。 8．设A, B, C是三个任意集合，试证： A - (B?C ) = (A - B ) - C． A-(B∪C) = A∩～(B∪C) = A∩～B∩～C = (A - B)–C。 9．填写集合{4, 9 }?{9, 10, 4}之间的关系．
10．设集合A = {2, a, {3}, 4}，那么下列命题中错误的是（ A ）．
A．{a}?A B．{ a, 4, {3}}?A C．{a}?A D．??A 11．设B = { {a}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ B ）．
A．{a}?B B．{2, {a}, 3, 4}?B C．{a}?B D．{?}?B
第2章 关系与函数
1．设集合A = {a, b}，B = {1, 2, 3}，C = {3, 4}，求 A?(B?C)，(A?B)?(A?C ) ，并验证A?(B?C ) = (A?B)?(A?C )．
A×(B∩C ) = {a, b}×{3} = {
（A×B）∩（A×C）= {
{
验证了A×(B∩C ) =（A×B）∩（A×C）。
2．对任意三个集合A, B和C，若A?B?A?C，是否一定有B?C？为什么？ 当A是空集时，不一定有B?C。 当A不是空集时，一定有B?C。
x∈A，y∈B，
1
3．对任意三个集合A, B和C，试证 若A?B = A?C，且A??，则B = C． x∈A，y∈B，
4．写出从集合A = {a，b，c }到集合B = {1}的所有二元关系．
Φ，{
{
5．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }，R是A上的二元关系，R ={?a , b??a , b?A , 且a +b = 6}写出R的集合表示式．
{<1,5>,<5,1>,<2,4>,<4,2>,<3,3>}。
6．设R从集合A = {a，b，c，d }到B = {1，2，3}的二元关系，写出关系
R ={?a , 1?，?a , 3?，?b , 2?，?c , 2?，?c , 3?}的关系矩阵，并画出关系图．
?1?0 MR = ??0??001101?0?? 1??0? 7．设集合A={a , b , c , d}，A上的二元关系
R ={?a , b?，?b , d?，?c , c?，?c , d?}， S ={?a , c?，?b , d?，?d , b?，?d , d?}．
求R?S，R?S，R-S，~（R?S），R?S ．
R∪S = {
R - S = {
～(R∪S) = {
R?S = {
8．设集合A={1 , 2 }，B = { a , b , c}，C ={? , ?}，R是从A到B的二元关系，S是从B到C的二元关系，且R = {<1 , a>，<1 , b>，<2 , c>}， S= {，}， 用关系矩阵求出复合关系R·S．
?01??110???01??01? M R·S = MR·MS = ?????00?； 001???00????? R·S = {<1，β>}
9．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系
R = {?1 , 1?，?1 , 3?，?2 , 2?，?3 , 1?，?3 , 3?，?3 , 4?，?4 , 3?，?4 , 4?}， 判断R具有哪几种性质？
自反性、对称性、传递性。
10．设集合A={a , b , c , d }上的二元关系
R = {?a , a?，?a , b?，?b , b?，?c , d?}，
求r (R)，s (R)，t (R)． r（R）= {〈a，a〉，〈a，b〉，〈b，b〉〈c，c〉，〈c，d〉，〈d，d〉}；
s（R）= {〈a，a〉，〈a，b〉，〈b，a〉〈b，b〉，〈c，d〉，〈d，c〉}； t（R）= {〈a，a〉，〈a，b〉，〈b，b〉〈c，d〉 }。
11．设集合A = {a, b, c, d}，R，S是A上的二元关系，且
2
R = { , , , ,
试画出R和S的关系图，并判断它们是否为等价关系，若是等价关系，则求出A中各元素的等价类及商集．
R是等价关系，A/R = {[a]，[c]}。S不是等价关系。
12．图1.1所示两个偏序集?A，R ?的哈斯图，试分别写出集合A和偏序关系R的集合表达式． e f d f g b c d e b c
a g a
(1) (2)
图1.1 题12哈斯图
A = {a，b，c，d，e，f，g}。
R = {
S = {
13．画出各偏序集?A，?1?的哈斯图，并指出集合A的最大元、最小元、极大元和极小元．其中：A={a , b , c , d , e }，
?1 = {?a , b?，?a , c?，?a , d?，?a , e?，?b , e?,?c , e?，?d , e?}?IA； 集合A的最大元e、最小元a、极大元e和极小元a。
14．下列函数中，哪些是满射的？那些是单射的？那些是双射的？ (1) f1 ：R ?R，f (a) = a3 + 1； (2) f4 ：N ?{0 , 1}，f (a) = ??0,a为奇数?1,a为偶数 ．
（1）双射； （2）满射。
15．设集合A= {1, 2 }，B = {a, b, c}，则B ?A= {
16．设集合A = {1，2，3，4}，A上的二元关系
R ={?1 , 2?，?1 , 4?，?2 , 4?，?3 , 3?}， S ={?1 , 4?，?2 , 3?，?2 , 4?，?3 , 2?}，
则关系（ B ）= {?1 , 4?，?2 , 4?}．
A．R?S B．R?S C．R - S D．S - R
17．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {?1 , 1?，?2 , 3?，?2 , 4?，?3 , 4?}，则R具有（ ）． a A．自反性 B．传递性
b e C．对称性 D．反自反性
18．设集合A={ a , b , c , d , e }上的偏序关系的哈斯
c d 图如图1.2所示．则A的极大元为 a ，极小元为c、d．
图1.2 题18哈斯图
19．设R为实数集，函数f：R?R，f (a) = -a2 +2a - 1，则f 是（ D ）． A．单射而非满射 B．满射而非单射
3
C．双射 D．既不是单射也不是满射
作业3
一、单项选择题
1．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．
A．{a，{ a }}?A B．{ a }?A C．{2}?A D．??A 正确答案：B
2．若集合A={a，b，{ 1，2 }}，B={ 1，2}，则（ ）． A．B ? A，且B?A B．B? A，但B?A C．B ? A，但B?A D．B? A，且B?A 正确答案：B
3．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．
A．{{1}, {a}} B．{?,{1}, {a}} C．{?,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }} 正确答案：C
注意：若A是n元集，则幂集P(A )有2 n个元素．
4．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={?a , b??a , b?A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（ ）．
A．自反的 B．对称的 C．对称和传递的 D．反自反和传递的 正确答案：B
因为写出二元关系R的集合表达式为
R = {?2 , 6?，?6 , 2?，?3 , 5?，?5 , 3?，?4 , 4?}
显然，R是对称的，不是自反的、反自反的、传递的． 要求大家能熟练地写出二元关系R的集合表达式． 5．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系
R = {?1 , 1?，?2 , 2?，?2 , 3?，?4 , 4?}， S = {?1 , 1?，?2 , 2?，?2 , 3?，?3 , 2?，?4 , 4?}，
则S是R的（ ）闭包．
A．自反 B．传递 C．对称 D．以上都不对 正确答案：C
想一想：R的自反闭包是什么？
如果集合A={1, 2, 3}，A上的二元关系R={
6．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系 的哈斯图如右图所示，若A的子集B = {3 , 4 , 5}， 则元素3为B的（ ）．
A．下界 B．最大下界
4
1 2 4 3 5
C．最小上界 D．以上答案都不对 正确答案：C ?
二、填空题
1．设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 ． 应该填写：2n
如果n=5, n=8，那么A的幂集合P(A)的元素个数分别是多少？
2．设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R从A到B的二元关系，
R ={?a , b??a?A，b?B且2?a + b?4}
则R的集合表示式为 ．
应该填写：R = {?1 , 1?，?1 , 2?，?1 , 3?，?2 , 1?，?2 , 2?，?3 , 1?}
3．设集合A={0, 1, 2}，B={0, 2, 4},R是A到B的二元关系，
R?{?x,y?x?A且y?B且x,y?A?B}
则R的关系矩阵MR＝
．
?110???应该填写：000 ????110??因为R ={<0,0>, <0,2>, <2,0>, <2,2>}，由此可以写出R的关系矩阵． 4．设集合A={a,b,c}，A上的二元关系
R={
则(R?S)1= ．
－
应该填写：{
因为 R?S={
－
5．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={
6．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是 ．
应该填写：{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}
想一想：集合A到B的不同函数的个数有几个？
三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．设A、B、C为任意的三个集合，如果A∪B=A∪C，判断结论B=C 是否成立？并说明理由．
解：结论不成立．
设A={1, 2}，B={1}，C={2}，则A∪B=A∪C，但B?C．
5
离散数学一三四作业答案
