第11讲 函数模型及其应用
[基础题组练]
1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为( )
解析：选D.因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合．
2．某市家庭煤气的使用量x(m)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝
?C，0
3
月份 用气量/m 煤气费/元 3一月份 4 4 3二月份 5 4 三月份 25 14 四月份 35 19 若五月份该家庭使用了22 m的煤气，则其煤气费为( ) A．12.5元 C．11.5元
B．12元 D．11元
解析：选A.由题意得C＝4.将(25，14)，(35，19)代入f(x)＝4＋B(x－A)，得
??????4＋B（25－A）＝14，?解得?1所以f(x)＝?1故当x＝22时，f(22)?4＋B（35－A）＝19，B＝.4＋（x－5），x>5.???
?
2
A＝5，4，0 2 ? ＝12.5.故选A. 3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A．5千米处 C．3千米处 B．4千米处 D．2千米处 解析：选A.设仓库应建在离车站x千米处．因为仓库每月占用费y1与仓库到车站的距 离成反比，所以令反比例系数为m(m>0)，则y1＝.当x＝10时，y1＝＝2，所以m＝20.因 x10为每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n(n>0)，则y24204x＝nx.当x＝10时，y2＝10n＝8，所以n＝.所以两项费用之和为y＝y1＋y2＝＋≥ 5x52 204x204x·＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓x5x5 mm库应建在离车站5千米处．故选A. 4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0e －kt(k，P0均为正的常数)．如果在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排 放前至少还需要过滤的时间是( ) 1 A.小时 2C．5小时 5 B.小时 9D．10小时 －kt解析：选C.由题意，前5小时消除了90%的污染物．因为P＝P0e＝P0e －5k，所以(1－90%)P0 －kt，所以0.1＝e －kt－5k.设废气中污染物含量为1%所需过滤时间为t，由1% P0＝P0e 2 －5k2 ，即 0.01＝e，得e －kt＝(0.1)＝(e)＝e －10k，所以t＝10，所以排放前至少还需过滤t－5＝ 5(小时)．故选C. 5．(2019·河北武邑中学月考)已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系R＝aA(a为常数且a>0)，广告效应为D＝aA－A.那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示) a?aaa?解析：由题意得D＝aA－A＝－?A－?＋，且A≥0，所以当A＝，即A＝时，2?424?D最大． 答案： 4 6.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝____________． 解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，S＝(x－2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)× 2 22 a2 y－3 881 800 ＝1 808－3x－y＝1 808－3x－×＝1 808－333x?3x＋4 800?≤1 808－2 ?x??? 4 8004 800 3x×＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝ xx1 800 40时取等号，所以当S取得最大值时，y＝＝45. 40 答案：45 7．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg? －6 2 ?I?2 －12?给出，其中I为声强(单位：W/m)． ?10? (1)平常人交谈时的声强约为10W/m，求其声强级； (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？ ?I??10?6 解：(1)当声强为10W/m时，由公式Y＝10lg?－12?得Y＝10lg?－12?＝10lg 10＝60(分 ?10??10? －6 2 －6 贝)． (2)当Y＝0时，由公式Y＝10lg?得10lg? ?I?－12? ?10? ?I?－12?＝0. ?10? －12 所以－12＝1，即I＝10 10则最低声强为10 －12 2 IW/m， 2 W/m. 8．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4 v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年． (1)当0 (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． 解：(1)由题意得当0 a＝－，??8??20a＋b＝0， 由已知得?解得? ?4a＋b＝2，5? ??b＝2，15 所以v＝－x＋， 82 2，0 故函数v＝?15 －x＋，4 (2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝ 2x，0 ?125 －x＋x，4 当0 125121252 当4 8288212.5. 所以当x＝10时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． [综合题组练] 1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A．略有盈利 C．没有盈利也没有亏损 B．略有亏损 D．无法判断盈亏情况 n解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%) nnnnn＝a×1.1元，经历n次跌停后的价格为a×1.1×(1－10%)＝a×1.1×0.9＝ a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a 2．(创新型)我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)( ) A．2[x＋1] C．2{x} 解析：选C.如x＝1时，应付费2元， 此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，故选C. 3．一个容器装有细沙acm，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae －bt3 B．2([x]＋1) D．{2x} (cm)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 3 ________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解析：当t＝0时，y＝a； 当t＝8时，y＝ae －8b11－8b＝a，故e＝. 22 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae －bt11－bt－8b3－24b＝a，e＝＝(e)＝e，88 则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一． 答案：16 4．(应用型)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)． 解析：当0 ??－x＋32x－100，0 故y＝?(x∈N)． ?160－x，x＞20? 2 2 2 * 2 当0 ??－x＋32x－100，0 答案：y＝?(x∈N) 16 ?160－x，x＞20? 2 22 5．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问： (1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？ 解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛10 书的供货价格为30＋＝32(元)， 5 故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)． ??15－0.1x>0， (2)每套丛书售价定为x元时，由?得0 ?x>0，? 设单套丛书的利润为P元，则P＝x－(30＋ 10100 )＝x－－30， 15－0.1x150－x100 因为0 150－x100 又(150－x)＋≥2150－x100 （150－x）·＝2×10＝20， 150－x
课标通用版2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第11讲函数模型及其应用检测文
