.
以C为原点，建立空间直角坐标系如图，则A（，E（0，2，1）.12，0，2）又A（2，0，0），B（0，2，0），D?AB，可设D（m，n，0），则ED?（?m，2?n，1）?AD?（m?2，n，0），?????????????????????2分A1D?（m?2，n，?2）AB?（?2，2，0）?m?n?2?mn?1.①②?????????2分?AD∥AB，?2（m?2）?2n?0，又?A1DE?90?，?A1D?ED?0?AC?CB，?CD?AB.?????
由①、②，有m?n?1，即D（1，1，0）.?D是AB的中点.由直三棱柱ABC－A1B1C1知，平面ABC?平面ABB1A1，CD?平面ABC，平面ABC?平面ABB1A1?AB，?CD?平面ABB1A1.????????2分
（Ⅱ）解：
CD?（1，1，0），CA1?（2，0，2）.设平面DA1C的法向量为n1?（x，y，z），则有n1?CD?0且n1?CA1?0，?x?y?0，即??2x?2z?0.?x?z?0.?可取n1?（?1，1，1）.??????????????令x??1，可得y?z?1.
?????????4分显然CB?平面A1CA，故可取平面A1CA的法向量n2?（0，1，0）.n?n?cos＜n1，n2＞12?|n1||n2|????13?1?3.33.3?????????3分?二面角D－A1C－A的大小为arccos
.
12．如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影
恰为AC的中点D，BA1⊥AC1。 （I）求证：BC⊥平面A1ACC1； （II）求点A1到AB的距离
C1
A1
C
B1
（III）求二面角B—AA1—C的正切值 D
A B 解：
答案：如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影
恰为AC的中点D，BA1⊥AC1。
（I）求证：BC⊥平面A1ACC1； （II）求点A1到AB的距离
（III）求二面角B—AA1—C的正切值 解：（1）由题意，A1D⊥平面ABC，∴A1D⊥BC。 又AC⊥BC，∴BC⊥平面A1ACC1
（II）过D作DH⊥AB于H，又A1D⊥平面ABC，∴AB⊥A1H ∴A1H是H1到AB的距离
∵BA1⊥AC1，BC⊥平面A1ACC1，由三垂线定理逆定理，得A1C⊥AC1 ∴ A1ACC1是菱形 ∴A1A=AC=a, A1D=
3a. 213．如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，
.
异面直线CF与DE所成的角为90°. （1）求此三棱柱的高；
（2）求二面角C—AF—B的大小.
解：（1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连结HC1，
连结FN，交HC1于点K，则点K为HC1的中点，因 FN//HC，则△HMC∽△FMK，因H为BC中点 BC=AB=2，则KN=1,FK?3，∴HC?HM?1?2,
22FKMK323则HM=1HC1，在Rt△HCC1，HC2=HM·HC1，
5解得HC1=5，C1C=2.
另解：取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为h，则C（0，1，0），F（3,0,h），D（3,?1,0），E（0，0，h），∴
2222h31由CF⊥DE，得CF?DE??3?1?h?0，解得h=2. CF?(3,?1,),CE?(?,,h)，
222222 （2）连CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，连CG，
由三垂线定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B 的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=5， 从而DG=
5∴tan∠CGD=DC?15， ,5DG故二面角C—AF—B大小为arctan15.
14.已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，AD?PB的中点。
（Ⅰ）求证：平面MNC⊥平面PBC； （Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。 解：（I）连PM、MB ∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥MD…1分
?PM2?PD2?MD2?323a又BM2?AB2?AM2?a2 22
2a，M、N分别是AD、
∴PM=BM 又PN=NB ∴MN⊥PB………3分
?PD?DC?a,BC?2a?PC?2a?BC,
得NC⊥PB∴PB⊥平面MNC……5分 ?PB?平面PBC ∴平面MNC⊥平面PBC……6分
（II）取BC中点E，连AE，则AE//MC∴AE//平面MNC， A点与E点到平面MNC的距离相等…7分
.
取NC中点F，连EF，则EF平行且等于
1BN 2∵BN⊥平面MNC ∴EF⊥平面MNC，EF长为E 点到平面MNC的距离……9分 ∵PD⊥平面ABCD， BC⊥DC ∴BC⊥PC.
?PB?BC2?PC2?2a,EF? 即点A到平面MNC的距离为
11aBN?PB? 242a……12分 233,D是CB延长线上215．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=
一点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D； （Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小； （Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积. （Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1， ∴ 四边形BDB1C1是平行四边形， ∴BC1//DB1. 又DB1?平面AB1D，BC1?平面AB1D， ∴直线BC1//平面AB1D.
（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1， ∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ， ∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角， ∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点， BE?1AC?3.
22
在Rt△B1BE中，
.
33B1B2tg?B1BE???3.∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°
3BE2 （Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C， ∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=
33?3?3,? VC?ABB?VA?BBC?1S?BBC?AF 22311111111 ?1(1?33?3)?33?27.即三棱锥C1—ABB1的体积为27.
322288 解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，
?S?ABB?S?AAB?VC1?ABB1?VC1?AA1B1?VA?A1B1C1
111 ?1S?ABC?AA1?1(4?3?32)?33?27.即三棱锥C1—ABB1的体积为27.
31113428816．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1，BC=BB1=1，D为BC上一点，
且满足AD⊥C1D.
（I）求证：截面ADC1⊥侧面BC1； （II）求二面角C—AC1—D的正弦值； （III）求直线A1B与截面ADC1距离.
（I）由题知：
AD?BC1C1C?底面ABC?C1C?AD????????面ADC1?面BC1
AD?平面ADC1?AD?底面ABC?C1D?AD?……………………………………………4分
高等考试数学立体几何大题30题
