.
立体几何大题
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．
C
D
（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．
（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．
解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB＝4cm，则二面角A－CD－B为直二面角．
∵ △ABC是等腰直角三角形，
A
B
第1题图
A
第1题图
B
C ? AD?DB?22?cm?,
又∵ AD⊥DC，BD⊥DC．
∴ ∠ADC是二面角A－CD－B的平面角．
.
? AD?DB?22, 当AB?4cm时,有
AD2?DB2?AB2. ? ?ADB?90?.
（2）取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件 ∵ △ABC为正三角形，且 AD＝BD＝CD．
∴ 三棱锥D－ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心，知DP⊥平面ABC， ∴ DP与平面内任意一条直线都垂直．
（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有VA?BCD?VO?BCD?VO?ADC?VO?ABD?VO?ABC代入得r?半径最大的小球半径为
2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC； （Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积； （Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小. 证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，
∴D1D⊥ABCD.
连AC，又底面ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，
32?6，即332?6． 3
由三垂线定理知 D1B⊥AC. 同理，D1B⊥AE，AE∩AC = A， ∴D1B⊥平面AEC .
解（Ⅱ）VB－AEC = VE－ABC . ∵EB⊥平面ABC，
∴EB的长为E点到平面ABC的距离. ∵Rt△ABE ~ Rt△A1AB，
AB29∴EB =AA?4.1
1∴VB－AEC = VE－ABC =3S△ABC·EB 119 =3×2×3×3×4 27 =8. （10分）
解（Ⅲ）连CF，
∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，
由三垂线定理知，CF⊥AE .
于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，BA?BE9在Rt△ABE中，BF =AE?5， 5在Rt△CBF中，tg∠BFC =3， 5∴∠BFC = arctg3.
.
高等考试数学立体几何大题30题
