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求离心率的取值范围策略
圆锥曲线共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线L（F不在定直线L上）的距离之比是一个常数e。椭圆的离心率
，双曲线的离心率
，抛物线的离心率
。求椭圆与双
曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。 一、
利用曲线的范围，建立不等关系
的左右焦点分别为
、
，如果椭圆上存在点P，使
例1． 设椭圆
，求离心率e的取值范围。
解：设
因为
，所以
将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得
例2． 双曲线值范围。 解：设即
=
在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率e的取
在双曲线右支上，它到右焦点的距离
等于它到左准线的距离
，
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二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系 例3．直线L过双曲线
的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，
求双曲线离心率的取值范围。 解：如图1，若，则L与双曲线只有一个交点；若，
则L与双曲线的两交点均在右支上， 例4. 已知F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、
B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
解：如图2，因为△ABF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是锐
角即可，即∠AF2F1<45°。则
三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系
例5．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且
，求此双曲线的离心率e的取值范围。
解：因为P在右支上，所以 又 得
所以 又 所以
例6．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到
右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。
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解：由题意得因为，所以，从而 ，
。又因为P在右支上，所以。 。
。
四、利用判断式确定不等关系
例7．例1的解法一：解：由椭圆定义知
例8．设双曲线范围。解：
与直线相交于不同的点A、B。求双曲线的离心率e的取值
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求离心率的取值范围解题策略
