线性代数期末试卷 共19页 第1页
2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A)
考试方式：闭卷 考试时间：
一、单项选择题（每小题
3分，共15分）
1.设A为m?n矩阵，齐次线性方程组AX?0仅有零解的充分必要条件是A的（ A）． (A) 列向量组线性无关， （B） 列向量组线性相关， （C）行向量组线性无关， （D） 行向量组线性相关． 2．向量?,?,?线性无关，而?,?,?线性相关，则（ C ）。 (A)
?必可由?,?,?线性表出， （B）?必不可由?,?,?线性表出，
（C）?必可由?,?,?线性表出， （D）?必不可由?,?,?线性表出. 3. 二次型
22f(x1,x2,x3)?(??1)x12??x2????1?x3，当满足（ C ）时，是正定二次型．
(A) ???1； （B）??0； （C）??1； （D）??1．
4．初等矩阵（A）；
(A) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B） 所对应的行列式的值都等于1； （C） 相乘仍为初等矩阵； （D） 相加仍为初等矩阵 5．已知?1,?2,,?n线性无关，则（C ）
,?n?1??n必线性无关；
,?n?1??n,?n??1线性相关； ,?n?1??n,?n??1线性相关；
A. ?1??2,?2??3,B. 若n为奇数，则必有?1??2,?2??3,C. 若n为偶数，则必有?1??2,?2??3,D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）
226．实二次型f?x1,x2,x3??tx12?4x1x2?x2秩为2，则t? ?x3?020???7．设矩阵A??003?，则A?1? ?400???
1
线性代数期末试卷 共19页 第2页 8．设A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，已知A?5，则AA*的特征值为 。
a1b19．行列式a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=______ ____; a3b3
?102???10. 设A是4×3矩阵，R(A)?2，若B??020?，则R?AB?=_____________；
?003???三、计算题（每小题10分，共50分）
a1?b1a1?b2a2?b2a3?b2a1?b3a2?b3的值。 a3?b311．求行列式D?a2?b1a3?b1?11?1???12．设矩阵A???111?，矩阵X满足A*X?A?1?2X，求X。
?1?11????x1?x2?2x4?0?3x?2x?x?x?1?123413． 求线性方程组?的通解。
2x?3x?x?x?1234?1??x1?4x2?x3?3x4?114．已知?1??1,2,2?,?2??3,6,6?,?3??1,,0,3?,?4??0,4,?2?，求出它的秩及其一个最大无关组。
TTTT15.设A为三阶矩阵，有三个不同特征值?1,?2,?3,?1,?2,?3依次是属于特征值
?1,?2,?3,的特征向量，令???1??2??3, 若A3??A?，求A的特征值并计算行列式
2A?3E.
四、解答题（10分）
?100???16. 已知A??032?，求A10
?023???五、证明题（每小题5分，共10分）
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线性代数期末试卷 共19页 第3页 17.设?是非齐次线性方程组AX?b的一个特解，?1,?2,组AX?0的一个基础解系，证明：向量组?,?1,?2,,?r为对应的齐次线性方程
,?r线性无关。
18. 已知A与A?E都是 n阶正定矩阵，判定E?A?1是否为正定矩阵，说明理由.
2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)
考试方式：闭卷统考 考试时间：2011.5.28
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设A,B为n阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。
A. (AB)k?AkBk; B. ?A??A;
C. A2?B2?(A?B)(A?B); D. 若A可逆，k?0，则(kA)?1?k?1A?1；
2．下列不是向量组?1,?2,???,?s线性无关的必要条件的是（ ）。
A．?1,?2,???,?s都不是零向量; B. C. D.
?1,?2,???,?s中至少有一个向量可由其余向量线性表示; ?1,?2,???,?s中任意两个向量都不成比例; ?1,?2,???,?s中任一部分组线性无关;
3. 设A为m?n矩阵，齐次线性方程组AX?0仅有零解的充分必要条件是A的（ ）。
A．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；
4． 如果（ ），则矩阵A与矩阵B相似。 A. A?B； B. r?A??r?B?； C. A与B有相同的特征多项式；
3
线性代数期末试卷 共19页 第4页 D. n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同；
225．二次型f(x1,x2,x3)?(??1)x12??x2，当满足（ ）时，是正定二次型。 ????1?x3A. ???1； B. ??0； C. ??1； D. ??1。
二、填空题（每小题3分，共15分）
?300??1??6．设A??140?，则?A?2E?＝ ；
?003???
7．设Aij(i,j?1,2) 为行列式D?
?100??201??100???????8．?010??140??001?= ；
?201???103??010???????A21中元素aij的代数余子式，则1131A21A12 ? ；
A22
9．已知向量组?1,?2,?3线性无关，则向量组?1??2,?2??3,?1??3的秩为 ；
10. 设A为n阶方阵， A?E， 且R?A?3E??R?A?E??n， 则A的一个特征值
?? ；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11?1?a?22?a211．设A????nn?n1??2??a?0?，求A。 ??n+a?12．设三阶方阵A，B满足方程A2B?A?B?E，试求矩阵B以及行列式B，其中
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线性代数期末试卷 共19页 第5页 ?102???A??030?。
??201????11?1???13．已知A??011?，且满足A2?AB?E，其中E为单位矩阵，求矩阵B。
?00?1????2x1??x2?x3?1?14．?取何值时，线性方程组??x1?x2?x3?2无解，有唯一解或有无穷多解？当
?4x?5x?5x??123?1有无穷多解时，求通解。
15. 设?1??0,4,2?,?2?(1,1,0),?3?(?2,4,3),?4?(?1,1,1)，求该向量组的秩和一个极大无关组。
四、解答题（10分）
16．已知三阶方阵A的特征值1，2，3对应的特征向量分别为?1，?2，?3。其中：
?1??1,1,1?，?2??1,2,4?，?3??1,3,9?，???1,1,3?。
（1）将向量?用?1，?2，?3线性表示；（2）求An?，n为自然数。
TTTT五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设A是n阶方阵，且R?A??R?A?E??n，A?E；证明：Ax?0有非零解。 18． 已知向量组(I) ?1,?2,?3的秩为3，向量组(II) ?1,?2,?3,?4的秩为3，向量组(III)
?1,?2,?3,?5的秩为4，证明向量组?1,?2,?3,?5??4的秩为4。
2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)
考试方式：闭卷统考 考试时间：2010.12.19
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（ ）。
(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;
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线性代数试题及答案
