4.5.3 函数模型的应用
课标要求 素养要求 通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养. 1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题.
教材知识探究
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为 1 000元，每期的利率为2.25%.
问题 五期后的本利和是多少？
提示 解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.
常见的函数模型
(1)一次函数模型 常用函数模型 (2)二次函数模型 (3)指数函数模型 (4)对数函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) (5)幂函数模型 (6)分段函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) ?f（x）（x 1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.(×) 提示 两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系. 2.函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.(×) 提示 函数模型中定义域必须满足实际意义. 3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.(×) 提示 拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可. [微训练] 1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示. 时间 利润 (千元) 1 2 2 3.98 3 8.01 4 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( ) A.y＝log2x C.y＝x2 解析 逐个检验可得答案为B. 答案 B 2.2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1). 解析 设x年我国人口将超过20亿，由已知条件：14(1＋1.25%)x－2 014>20，x－2 10lg7 1－lg 7 014>81＝≈28.7，则x>2 042.7，即x＝2 043. 4lg 3－3lg 2－1lg80答案 2 043 B.y＝2x D.y＝2x [微思考] 1.斜率k的取值是如何影响一次函数的图象和性质的？ 提示 k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小. 2.在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？ 提示 当x>0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数. 题型一 一次函数、二次函数、分段函数模型 【例1】 某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85 元/km). (1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0 (2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8 km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由. 解 (1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为 ?8（0 f(x)＝?8＋1.9（x－2）（2 ?8＋1.9×8＋2.85（x－10）（10 ＝?4.2＋1.9x（2 (2)只乘一辆车的车费为 f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)， 换乘2辆车的车费为2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元). 因此40.3>38.8， 所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱. 规律方法 1.利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 2.应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 【训练1】 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数： ?400x－x2，0≤x≤200，x∈N，H(x)＝? ?40 000，x>200，x∈N，其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)； (2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) 解 (1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t， ?－x2＋300x－10 000，0≤x≤200，x∈N， ∴f(x)＝? ?30 000－100x，x>200，x∈N.(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500， 所以当x＝150时，有最大值12 500； 当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数， f(x)<30 000－100×200<12 500. 所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500. 所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元. 题型二 指数函数、对数函数模型 【例2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游1θ 速可以表示为函数v＝2log3100，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时①，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s②，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ ①将函数式中的θ换为900求解v；②游速提高1 m/s的意思是函数值的差值为1. 1θ 解 (1)由v＝2log3100可知， 19001 当θ＝900时，v＝2log3100＝2log39＝1(m/s). 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s. 1θ21θ1θ2 (2)由v2－v1＝1，即2log3100－2log3100＝1，得θ＝9.所以耗氧量的单位数为原来 1 的9倍. 规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法 (1)指数函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示. (2)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解. (3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型， ②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论. 【训练2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年a 比上一年减少p%，10年后森林面积变为2.为保护生态环境，所剩森林面积至少12 要为原面积的4.已知到今年为止，森林面积为2a. (1)求p%的值； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ a 解 (1)由题意得a(1－p%)＝2， 10 111??即(1－p%)10＝2，解得p%＝1－?2?10. ??2 (2)设经过m年森林面积为2a，
第四章 4.5 4.5.3 函数模型的应用
