第二章 点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
A组 一、选择题 1．D
解析：命题②有反例，如图中平面??∩平面??＝直线n， l??，m??，
且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面???不垂直平面 ?，??????????????????(第1题) 故②是假命题；命题①显然也是假命题， 2．D
解析：异面直线AD与CB1角为45°． 3．D
解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定． 4．D
解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D． 5．B
解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB?平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与???无公共点，l与平面???内的所有直线
都没有公共点，④正确，应选B． (第5题)
6．B
解析：设平面 ??过l1，且 l2∥?，则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面 ??，??与 ??的交线l3∥l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.
7．C
解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO
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是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．
8．D
解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．
9．B
解析：因为①②④正确，故选B． 10．A
解析：异面直线a，b所成的角为60°，直线c⊥a，过空间任一点 P，作直线 a’∥a， b’∥b， c’∥c. 若a’，b’，c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角，否则 b’ 与 c’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b与c所成角的范围为[30°，90°] ．
二、填空题 11．
132S1S2S3．
解析：设三条侧棱长为 a，b，c． 则 ∴ 111ab＝S1，bc＝S2，ca＝S3 三式相乘： 2221222a b c＝S1S2S3， 8∴ abc＝22S1S2S3． ∵ 三侧棱两两垂直， 111∴ V＝abc·＝2332S1S2S3． 12．外，垂，内，中，BC边的垂直平分． 解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心； (4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；
(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．
解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°． 14．[30°，90°]．
解析：直线l与平面???所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在???内适当旋转
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就可以得到l⊥m，即m与l所成角的的最大值为90°．
15．
6． 31?3×(d1＋d2＋d3＋d4)＝1?3·h，而h＝6． 34343解析：作等积变换：16．60°或120°．
解析：不妨固定AB，则AC有两种可能． 三、解答题
17．证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO． ∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形， ∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O， ∴BC⊥平面AOD．又AD?平面AOD，
∴BC⊥AD． (第17题)
解：(2)由(1)知∠AOD为二面角A－BC－D的平面角，设∠AOD＝?，则过点D作DE⊥AD，垂足为E． ∵BC⊥平面ADO，且BC?平面ABC， ∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC＝AO， ∴DE⊥平面ABC． ∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE＝3． 又DO＝3BD＝23， 23DE＝， 2DO3． 2在Rt△DEO中，sin?＝故二面角A－BC－D的正弦值为(3)当 ?＝90°时，四面体ABCD的体积最大． 18．证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴?DEC?90?，即DE⊥EC．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE?平面D1DCC1，
∴BC⊥DE．又EC?BC?C，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．
(2)解：如图，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC
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于O．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵面ABCD⊥面D1DCC1，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝
1， (第18题) 5又OE＝1，所以，tan?EFO＝5．
112?1＝3， 19*．解：(1)直角梯形ABCD的面积是M底面＝(BC＋AD)?AB＝
2421＋3111∴四棱锥S—ABCD的体积是V＝·SA·M底面＝×1×＝．
4433(2)如图，延长BA，CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱． ∵AD∥BC，BC＝2AD， ∴EA＝AB＝SA，∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线． 又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是SC在面SEB 上的射影， ∴CS⊥SE，∠BSC是所求二面角的平面角． ∵SB＝SA2＋AB2＝2，BC＝1，BC⊥SB， ∴tan∠BSC＝BC2＝， SB2 (第19题)
即所求二面角的正切值为2． 220*．解：如图，设斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面BB1C1C的面积为10，A1A和面BB1C1C的距离为6，在AA1上取一点P作截面PQR，使AA1⊥截面PQR，AA1∥CC1，∴截面PQR⊥侧面BB1C1C，过P作PO⊥QR于O，则PO⊥侧面BB1C1C，且PO＝6． ∴V斜＝S△PQR·AA1＝
＝＝
1·QR·PO·AA1 2
(第20题)
1·PO·QR·BB1 21×10×6 2＝30．
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高中数学必修二第二章练习题
