2018届高三理科数学不等式选讲解题方法规律技巧详细总结版
【简介】不等式选讲是新课标的新增内容，也是选考内容.从能力要求上看，主要考查学生了解不等式、应用不等式的能力，分析问题和解决问题的能力.（1）考查含绝对值不等式的解法与含绝对值符号的函数的最值、恒成立问题;（2）考查了不等式的证明，会用综合法，分析法等证明不等式，往往难度不大，加以适当的训练是完全可以掌握的. 【3年高考试题比较】
不等式选讲内容，在高考题中以选作的形式出现，难度一般不大，比较这三年的高考题，出现频率较高的有：解绝对值不等式，作含绝对值的函数图像，含参的绝对值恒成立有解问题，不等式证明，一般以分析法证明为主.
【必备基础知识融合】 1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 3.不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等. (1)比较法 ①求差比较法
知道a>b?a－b>0，a
由a>b>0?>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法. (2)分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法. (3)综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法. (4)反证法的证明步骤
第一步：作出与所证不等式相反的假设；
第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.
4.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：
①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)(当且仅当ad＝bc时，等号成立).
②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R， 则（x1－x2）＋（y1－y2）＋（x2－x3）＋（y2－y3） ≥（x1－x3）＋（y1－y3）.
④柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，?，an，b1，b2，b3，?，bn是实数，则(a1＋a2＋?＋an)(b1＋b2＋?＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋?＋anbn)，当且仅当bi＝0(i＝1，2，?，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，?，n)时，等号成立. (2)算术—几何平均不等式
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abab若a1，a2，?，an为正数，则【解题方法规律技巧】
a1＋a2＋?＋ann≥a1a2?an，当且仅当a1＝a2＝?＝an时，等号成立.
n典例1：(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值. (2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.
【规律方法】
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法. 典例2：设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1. 求证：(1)a＋b＋c≥3. (2)
a＋bcb＋acc≥ 3(a＋b＋c). ab
【规律方法】
当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. 典例3：已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
111
(1)＋＋≥8；
abab?1??1?(2)?1＋??1＋?≥9. ?
a??
b?
证明 (1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0， 11111a＋b?11?∴＋＋＝＋＋＝2?＋?
abababab?ab?
＝2?
?a＋b＋a＋b?＝2?b＋a?＋4≥4 ??b??a??ab?
ba×＋4＝8. ab1111
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立). abab2
?1??1?111
(2)∵?1＋??1＋?＝＋＋＋1，
?
a??
b?abab111?1??1?由(1)知＋＋≥8.∴?1＋??1＋?≥9.
abab?a??b?
【规律方法】
(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.
典例4：已知x，y，z均为实数.
(1)若x＋y＋z＝1，求证：3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33； (2)若x＋2y＋3z＝6，求x＋y＋z的最小值.
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【规律方法】
(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a1＋a2＋?11?2?122
＋an)?2＋2＋?＋2?≥(1＋1＋?＋1)＝n.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条
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?a1a2an?
件.
典例5：已知不等式(1)当
时，求不等式的解集；
.
(2)若不等式的解集为，求的范围. 【答案】（Ⅰ）【解析】试题分析：
;（Ⅱ）是
试题解析：（1）由已知，可得当若若
，则时，若
，则
，则
，解得，解得
，解得
综上得，所求不等式的解集为； （2）不妨设函数
，则其过定点
，如图所示，
由（1）可得点，由此可得
.
，即.
所以，所求实数的范围为
【规律方法】
2018届高三数学(文理通用)不等式选讲解题方法规律技巧详细总结版
