高一新教材同步教材立体解读数学第一册 1.4充分条件与必要条件
考点1 充分条件
一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q,记作 ,则p是q的
1.下列 “若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的有 . （1）若x?1,则x?2；
（2）若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似； （3）若x?1,则x?1； （4）若ab?0, 则a?0,b?0. 考点2 必要条件
一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q,则q是p的
1.下列 “若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有 . （1）若x,y是偶数,则x?y是偶数； （2）若a?2,则方程x?2x?a?0有实根； （3）若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形. 考点3 充要条件
（1）如果 “若p,则q”和它的逆命题 “若q,则p”均是真命题,即既有p?q ,又有q?p,就记作 ,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 ,简称为
1．若a?R,则“a?2”是“|a|?2”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充要条件
2.设A,B,U是三个集合,且
“
B．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件
”是“
”的（ ）
2
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
考点1 充分条件
例1下列 “若p,则q”形式的命题中,那些命题中p是q的充分条件？ （1）若xy?1,则x?1或y?1； （2）a,b?R,若ab?0,则“a2?b2?0. 分析：分析由p能否推出q.
解：（1）若xy?1,则则x?1或y?1成立,p?q；p是q的充分条件；（2）取a?1,b?0,则ab?0成立,a2?b2?0,由p不能推出q,p不是q的充分条件.
1.p是q的充分条件,是指由条件p可以推出结论q,但这并不意味着只能由这
个条件p才能推出结论q．一般来说,对给定结论q,使得q成立的条件p是不唯一的；
2. 写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)},若A?B,则p是q的充分条件；若AB,则p是q的充分不必要条件； 3.注意下面两种叙述方式的区别：（1）p是q的充分条件,即p?q ；（2）p的充分条件是q,即q?p.
1.已知m,n?R,则“
m?1?0”是“m?n?0”成立的（ ） nB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件 C．充分必要条件 2.
设?:1≤x?4；?:x?m,若?是?的充分条件,则实数m的取值范围是__________．
11且y?”的（ ）
22考点2必要条件
例2 （1）已知x,y?R,则“x?y?1”是“x?A．充分且不必要条件 C．充分且必要条件 （2）命题p:A．a?0
B．必要且不充分条件 D．不充分也不必要条件
1?1,命题q:x?a,若命题p的必要不充分条件是q,则a的取值范围为（ ） xB．a?0
C．a?0
D．a?0
分析：（1）将两个条件相互推导,根据推导的情况判断充分、必要性；（2）由命题p的必要不充分条件是q得出{x|0
解析：（1）当“x?y?1”,如x??4,y?1,x?y?1,但没有“x?等式的性质有“x?y?1”.故“x?y?1”是“x?（2）由题p:1111且y?”.当“x?且y?”时,根据不222211且y?”的必要且不充分条件.故选B. 221?1?0?x?1,若命题p的必要不充分条件是q,则a?0,故选B x 1. 若p是q的充分条件,则q是p的必要条件
2. 判断 “若p,则q”形式的命题中q是否p的必要条件,只需判断是否 有 “p?q”,即 “若p,则q”是否为真
3.写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断： ①若B?A,则p是q的必要条件； ②若BA,则p是q的必要不充分条件
3.．已知x,y?R,则“x?1或y?1”是“x?y?2”的（ ） A．充要条件
B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．既非充分也非必要条件
4.命题“x2?x?2?0”是命题“x??1”的______条件.
5.若“x?2”是“x?m”的必要不充分条件,则m的取值范围是_______． 考点3充要条件
例3（1）已知集合A＝{x|a－2 是两个集合,则“ ”是“ ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既 不充分也不必要”)． 分析：（1）由A∩B＝?,可得到结论． 解析：（1）A∩B＝??（2）当所以“ 时,则有”是“ ?0≤a≤2. ；反之,当 时,则有 ． ,解不等式即可得解；（2）根据充分必要条件的定义进行判定即可得 ”的充分必要条件．故答案为：充要． 1. 充要条件的两种判断方法： (1)定义法：根据p?q,q?p进行判断； (2)集合法：根据由p,q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； 2.求解充要条件的应用问题时,一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．求解参数的取值范围时,一定要注意对区间端点值进行检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现错误． 6. 若a?0,b?0,则“a?b?4”是 “ab?4”的（ ） B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ”是“ ”的______条件选填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必 A．充分不必要条件 C．充分必要条件 7.设要”之一 8.方程 ,则“ 有两个不相等的负实数根的充要条件是__________. 9.已知p是r的充分条件,而r是q的必要条件,同时又是s的充分条件,q是s的必要条件,试判断： （1）s是p的什么条件？ （2）p是q的什么条件？ （3）其中有哪儿对条件互为充要条件？ 一、选择题 1.“x2?4”是“x?2”成立的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 2.设x?R,则“x?1”是“x?1”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件 3．设a,b?R,则“ B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 a?1”是“a?b?0”的（ ） bB．必要不充分条件 A．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.对于实数x,y,若p:x?2或y?1,q:x?y?3,则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 5.若a、b不全为0,必须且只需( ) A．ab?0 C．a、b中只有一个为0 B．a、b中至多有一个不为0 D．a、b中至少有一个不为0 D．既不充分也不必要条件 6．设x?R,则“x?2”是“x?4”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7.设x?R,则“0?x?3”是“x?1?2” 的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 二、填空题 8．“x?1?2”是“x?3”的____条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要条件”、“充要”中选择填空）． 9．若“x?3”是“x?m”的必要不充分条件,则m的取值范围是________． 10．已知p:0?x?1, q:x?k,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是________. 11．若x???1,m?是不等式2x2?x?3?0成立的充分不必要条件,则实数m的范围是________. 12．设a,b∈R,则“a＞b”是“a?b”的_____条件(填充分不必要,必要不充分等） 13．已知A?B,则“x∈A”是“x∈B”的________条件,“x∈B”是“x∈A”的________条件．(填“充分”或“必要”) 14．“ab>0”是“a>0,b>0”的________条件(填“充分”或“必要”)． 15．若 是 的充分不必要条件,则实数的取值范围为_________ B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,则s是q的________条件,r是q的________条件,p是s的________条件． 三、解答题 ?x?2?x?y?4 q:?,p是q的什么条件？并说明理由． 17．．p:?x?y?4； ??y?2
新教材立体解读高中数学第一册：充分条件与必要条件【附答案及解析】
