第七讲 列方程（组）解应用题
趣题引路】
两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使一辆车前进60 km，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离出发点___________km的地方返回．
解析 要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，而乙车留下供两车返回时所用的油．设从开始出发到分别，甲、乙车各用了x桶油，则乙车应留下2x桶油，并借给甲车x油，使甲车装满24桶油，依据题意，列方程 x＋x＋2x＝24. 解得x＝6. 60×6＝360（km）.
所以，乙车应在离出发点360 km处返回．
点评 解应用题关健在于挖掘题目中隐含的等量关系，用来列代数式或建立方程.
知识延伸】
例1 甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A点700m处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400m处，求A、B两地间的距离是多少米？ 解析 设A、B两地间的距离是x m，第一次相遇甲走了700 m，第一次相遇后到第二次相遇甲走了（x－700）＋400＝(x－300) m，因为甲、乙两人速度不变，甲、乙两人第一次相遇共走了x m，第一次相遇后到第二次相遇两人共走了2x m，所用时间是第一次相遇所用时间的2倍，所以早甲第一相遇后到第二次相遇所走路程应为第一次相遇所走路程的2倍，即 x－300＝2×700. 解得x＝1700 m.
所以，A、B两地间的路程是1700 m． 点评 弄清以下问题是解题的关键：
（1）甲、乙两人从开始到相遇所用时间有什这关系？（2）所走路程之和是多少？（3）第一次相遇后到第二次相遇，甲、乙两人所走路程之和是多少？(4)所用时间是第一次相遇时间的几倍？
例2 有甲、乙两种酒精溶液，甲种溶液的浓度为95%，乙种溶液的浓度为80%，要想得到浓度为85%的溶液270 g，应从甲、乙两种酒精溶液中各取多少克？ 解析 设95%的酒精取x g，80%的酒精取y g ?x?y?270?x?90则有?，解得?，
x95%?y80%?270?85%y?180??即95%的酒精取90 g，80%的酒精取180 g.
另解：已知x＋y＝270，只需求出x：y即可快速求出x、y．一般要求出x：y,需要有一个关于x、y的齐次
方程.②式中有常数项，只要想法消掉常数项即可.把270用x+y代入，则有 95%x+80%y=85%（x+y）.
x85%?80%整理得，?
y95%?85%观察发现，x与y的比只与三种溶液的浓度有关. 为了方便记忆，我们建立如下模型：
95% 85% －80% x……（95%的溶液质量）
85% 则有80% 95% －85% y……（80%的溶液质量） ()
x85%?80%. ?y95%?85%
一般的，浓度为a%的溶液xkg，浓度为b%的溶液ykg，配制成浓度为c%的溶液，其中a%>c%>b%，则可建立以下模型：
a% c% －b% x
c% .
b% a % －c % y
点评:实际上不光浓度问题存在这样一种隐含的规律，只要是隐含c=ab型基本等量关系的问题都具有此规律.
例3 某人以4km/h的速度步行由甲地到乙地，然后又以6km/h的速度从乙地返回甲地，那么，此人往返一次的平均速度是 km/h.
解析 速度相当于溶液的浓度，时间相当于溶液的质量。 由路程相同知，时间之比与速度之比互为倒数. 即去与回用时之比为6：4=3：2. 设平均速度为xkm/h建立模型： 4 6－x 3
x .
6 x－4 2
∴
6?x3? x?42解得 x=4.8（km/h）
点评:关于c=ab型数量关系，若有一个量相同，往往可以利用正、反比关系求出另两个量之比的关系。
例4 快、慢两列车的长分别为150m，200m，相向行驶在平行轨道上，若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间为6s，问坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少？
解析 设坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间为x s.由于两列车相向行驶的相对速度是一样的，所以坐在车上看另一辆车驶过窗口的时间与车长成正比，由题意得
6：x=150：200. 解得x=8（s）
答：坐在快车上的人看见慢车驶过窗口用的时间为8s.
点评: 速度一定，路程之比等于时间之比是题中常隐含的关系.
例5 小刚骑自行车沿公路以a km/min的速度前进，每隔b min 迎面开来一辆公共汽车，每隔c min（c>b）从后面开过一辆公共汽车.若汽车均为相同的速度，始、终点发车间隔时间相同，求汽车的速度和发车的间隔时间.
解析 设汽车速度为x km/min，发车的间隔时间为t min.
?(a?x)b?tx依题意有?
(x?a)c?tx?a(c?b)?x???c?b解得?
2bc?t???b?c点评：迎面b min相遇，路程即两辆车之间的距离为xt km，由速度和?时间=路程，得方程(a?x)b?tx；
c min后面追上来，相当于小刚先走xt km路程，由速度差?时间=路程，得方程(x?a)c?tx. ()
好题妙解】
佳题新题品味
例：四十只脚的蜈蚣和三个头的龙在同一个笼中，共有26个头和298只脚，如果40只脚的蜈蚣只有一个头，那么三个头的龙有几只脚？
解析：设蜈蚣和龙的个数分别为x、y，三个头的龙的脚数为n、x、y、n均为正整数. ?x?3y?26 ①依题意得?
40x?ny?298 ②?①×40-②得
（120-n）y=742，
y│742，742=1×2×7×53， 又：3y 答：三个头的龙有14只脚. 点评：注意题中隐含了条件：只数、脚数均为正整数. 中考真题欣赏 例】（重庆市中考题）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4min内可以通过800名学生。 （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下大楼的学生应在了5min内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生.设问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由. 解析（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生。由题意，得 ?2(x?2y)?560?x?120，解得. ??y?804(x?y)?800??答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生. （2）这栋楼最多有学生4×8×45=1440名，拥挤时5min 4道门能通过学生： 5×2（120+80）×（1-20%）=1600名. ∵1600>1440， ∴建造的4道门符合安全规定. 点评：本题属于工程问题，类似于水池注水，其等量关系常用“甲工作量+乙工作量=总工作量”. 竞赛样题展示 例 甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道题？ 解析：设共有x道题难题，y道容易题，中等难度的题为z道，则 ?x?y?z?100 ① ??x?3y?2z?180 ②由①×2-②，得x-y=20. 答：难题比容易题多20道. () 点评：本题有三个未知数：难题个数、容易题个数、正好两人解出的题（中等难度的题）的个数，有两个等量关系： （1）难题个数+容易题个数+中等难度题个数=100. （2）难题个数+容易题个数×3+中等难度题个数×2=60×3，故需设辅助未知数. 过关检测】 A级 1.一件工作，由甲单独做需要24h，由乙单独做需要18h，现在先由甲单独做6h，剩下的部分由甲、乙合作，完成这件工作需要多少时间. 2.一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大于1，个位上的数比十位上的数的3倍小1，如果这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求原来的数. 3.有水桶两只，甲的容量是400L，乙的容量是150L，如果从甲桶放出的水是乙桶放出的2倍，那么甲桶剩下的水是乙桶所剩下的水的4倍，问每桶各放出多少升水？ 4.一轮船从重庆到上海要5昼夜，而从上海到重庆要7昼夜，那么有一木排从重庆顺流漂到上海要多少天？ 5.有甲、乙两个桶，甲桶中贮酒精12kg，水18kg，乙桶中贮酒精9kg，水3kg.现从两桶中各取多少千克溶液，才能使配成的混合溶液里含有酒精和水各7kg？ () 6.星期六下午，小明在出去玩之前看石英钟，长短针都在1与2之间，而长针超过短针1小格，求他出去的时间. 7.从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30km，那么比火车开车时间早到15min；若每小时行18km， 则比火车开车时间迟到15min，现在打算在火车开车前10min 到达火车站，骑摩托车的速度应为 km/h. B级 1.某人沿无轨电车路线骑自行车，每隔12min有一辆车从左面超过他，每隔4min有一辆电车迎面向 他驶来.若此人与电车的速度均保持不变，且不计电车停车及乘客上、下车的时间，问每隔几分钟从电车的起点站开出一辆电车？ 2.小李乘自动扶梯下楼，他以每步一级的速度下行，结果走了50步就到了楼下，接着他又以下楼时的速度的5倍（仍是一步一级）冲上楼梯，结果走了125步才到达楼上.请问扶梯停下时，他看见扶梯是（ ） A.50级 B.100级 C.125级 D.250级 93.甲、乙两人骑自行车于同时同地出发，沿着圆形跑道按逆时针方向行驶，甲每分钟跑了圈，乙每 824圈.那么，从出发时刻起，到他们同时回到出发地至少需要的时间是 25（ ） 2211A.66min B.33min C.66min D.33min 3333 分钟跑 ()
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第七讲 列方程(组)解应用题
