关于高等数学不定积分例
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Last revision on 21 December 2020
第4章 不定积分
内容概要 名称 不 定 积 分 主要内容 不 定 积 分 的 概 念 性 质 f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 设d?f(x)dx??f(x)dx； f(x)dx??f(x)或d???????dx性质2：F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C； ??性质1：性质3：?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。 设计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 分部积分法 f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： 设x则 ??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原函数F(t)，?1?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(?(x))?C 本章 的地 位与 作用 有理函数积若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处分 理按情况确定。 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1)
?xdx2x
1x252思路: 被积函数 x52?x?，由积分表中的公式（2）可解。
解：?dxx22?2??xdx??x?C
3x?3
★(2)
3?(x?1x)dx
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
3解：?(3x?)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?x3?2x2?C
4x??11312131241★(3)（2?x?x2）dx
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
2x13（2?x）dx??2dx??xdx??x?C 解：?ln23x2x2★(4)
?x(x?3)dx
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：?2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C
53212533x4?3x2?1★★(5)?x2?1dx
3x4?3x2?112?3x?思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 22x?1x?13x4?3x2?112dx?3xdx?dx?x3?arctanx?C 解：?22??x?11?xx2★★(6)?1?x2dx
x2x2?1?11??1?思路:注意到
1?x21?x21?x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
x21dx?dx?dx?x?arctanx?C. 解：?22??1?x1?x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个
整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
x134dx ★(7)（-+?2xx3-x4）思路:分项积分。
x13411（-+3-4）dx??xdx??dx?3?x?3dx?4?x?4dx 解：?2xxx2x
★(8)
32(??1?x21?x2)dx
思路:分项积分。
3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 解：?(2??221?x21?x1?x1?x★★(9)
?xxxdx
111??248思路:xxx?看到xxx?x解：?★★(10)
7815?x78，直接积分。
8xxxdx??xdx?x8?C.
151?x2(1?x2)dx
思路:裂项分项积分。 解：?111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. ?x21?x2?x2?1?x2xx2(1?x2)e2x?1dx ★(11)?xe?1e2x?1(ex?1)(ex?1)dx??(ex?1)dx?ex?x?C. 解：?xdx??xe?1e?1★★(12)
xx3?edx
x（3e）思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3xex?。 x（3e）（3e）dx??C. 解：?3edx??ln(3e)xxx★★(13)
?cot2xdx
思路:应用三角恒等式“cot2x?csc2x?1”。
解：?cot2xdx??(csc2x?1)dx??cotx?x?C
2?3x?5?2x★★(14)?3xdx
2?3x?5?2x2x?2?（5），积分没困难。 思路:被积函数 x332()x2?3?5?22x3解：?dx?（2?（5））dx?2x?5?C. x?33ln2?ln32x★★(15)cos?2dx
思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
x1?cosx11解：?cos2d??dx?x?sinx?C.
22221★★(16)?1?cos2xdx
思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
11112解：?dx??dx?secxdx?tanx?C. 2?1?cos2x222cosxcos2x★(17)?cosx?sinxdx
xx思路:不难，关键知道“cos2x?cos2x?sin2x?(cosx?sinx)(cosx?sinx)”。
cos2xdx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C.
cosx?sinxcos2x★(18)?cos2x?sin2xdx 解：?思路:同上题方法，应用“cos2x?cos2x?sin2x”，分项积分。
cos2xcos2x?sin2x11dx?dx?dx?x 解：?222222???cosx?sinxcosx?sinxsinxcosx★★(19)
?(1?x1?x?)dx 1?x1?x1?x1?x1?x1?x2????1?x1?x1?x21?x21?x2，应用公式(5)即可。
思路:注意到被积函数 解：?(1?x1?x1?)dx?2?dx?2arcsinx?C.
21?x1?x1?x1?cos2x★★(20)?1?cos2xdx
1?cos2x1?cos2x112??secx?思路:注意到被积函数 ，则积分易得。 21?cos2x222cosx
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