一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y?x?1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y?x?1的零点． 己知函数y?x?2mx?2(m?3)(mm为常数)．
2（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且
111???，此时函数图象与x轴的交点分 x1x24别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线y?x?10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
【答案】（1）当m=0时，该函数的零点为6和?6． （2）见解析,
（3）AM的解析式为y??【解析】 【分析】
（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式 【详解】
（1）当m=0时，该函数的零点为6和?6．
1x?1． 2
（2）令y=0，得△=∴无论m取何值，方程
即无论m取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有由
解得
，．
总有两个不相等的实数根．
∴函数的解析式为令y=0，解得∴A(
)，B(4,0)
．
作点B关于直线y?x?10的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线y?x?10的交点就是满足条件的M点．
易求得直线y?x?10与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（10，?6）
设直线AB’的解析式为y?kx?b，则
?2k?b?01{，解得k??，b??1 10k?b??62∴直线AB’的解析式为y??即AM的解析式为y??1x?1， 21x?1． 2
2．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1． 【答案】x1=1+3，x2=1﹣3 【解析】
试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3， 解得：x1=1+3，x2=1﹣3．
3．已知关于x的方程4x2?8nx?3n?2和x??n?3?x?2n?2?0，是否存在这样的
22n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由？
【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】
在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n满足题意.
设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=?由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
3n?2，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2， 413，但1-n=不是整数，舍.
221②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-(舍)，
4综上所述，n=0.
①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-4．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业
解：x2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b2﹣4ac=9＞0
2?b?b?4ac=7?3∴x=
22a∴x1=5，x2=2
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． 探究应用：请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+（1）当m=2时，求△ABC的周长； （2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．
【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为△ABC为等边三角形时，m的值为1． 【解析】
【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5． （1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（
m1﹣=0的两个实数根． 247；（2）当2m1﹣）=m2﹣2m+1，可求得m. 24【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形． （1）当m=2时，方程为x2﹣2x+∴x1=
3=0， 413，x2=． 22
中考数学提高题专题复习一元二次方程练习题及答案解析
