2024秋高三期中考试试卷
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2024．11
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
z
1. 已知i为虚数单位，若复数z满足＝1＋i，则复数z＝________．
1－2i
2. 函数y＝4－2x的定义域为________．
3. 已知x，y∈R，直线(a－1)x＋y－1＝0与直线x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为________．
4. 已知函数f(x)为偶函数，且x>0时，f(x)＝x3＋x2，则f(－1)＝________．
4
5. 已知向量m＝(1，a)，n＝(，3a＋1)．若m∥n，则实数a＝________．
a
1
6. 设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝26，b＝6，cos B＝－，2则角A的大小为________．
x－y≥0，??
7. 设实数x，y满足?x＋y≤1，则3x＋2y的最大值为________．
??x＋2y≥1，
8. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4，
则该抛物线的准线方程为________．
1－x
9. 已知条件p：x>a，条件q：>0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围
x＋2是________．
x2y2
10. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1的一个焦点为(3，0)，则双曲线
mm＋1的渐近线方程为__________．
π
11. 若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则函数f(x)在[－π，
20]上的单调增区间为________．
12. 在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心．若△ABC的面积为6＋1，→→→→
AC＝5，tan C＝2，则(AH＋BC)·(GB＋GC)＝________．
2a2＋1b2－2
13. 已知正实数a，b满足2a＋b＝3，则＋的最小值是________．
ab＋2
14. 已知函数f(x)＝22x－x2，g(x)＝ln x－ax＋5(e为自然对数的底数，e≈2.718)．对于任
意的x0∈(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，则整数a的取值集合是__________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
→→→→
在△ABC中，已知3AB·AC＝|AB||AC|，设∠BAC＝α. (1) 求tan α的值；
3π
(2) 若cos β＝，β∈(0，)，求cos(β－α)的值．
52
16. (本小题满分14分) 1
已知a∈R，函数f(x)＝a－.
|x|
(1) 若f(x)≤2x对x∈(0，2)恒成立，求实数a的取值范围； (2) 当a＝1时，解不等式f(x)≥2x.
17. (本小题满分15分)
在平面直角坐标系xOy中，已知直线x－3y－10＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相切． (1) 若直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为26，求直线l的方程；
(2) 已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M，N的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
18. (本小题满分15分)
江苏省园博会有一中心广场，南京园、常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为2 km、22 km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为10 km.现规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园、常州园、扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路(如图(1)、(2))．已知铺设每段鹅卵石路的费用(万元)与其长度的平方成π
正比，比例系数为2.设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为θ(θ∈(0，))，铺设三段
4鹅卵石路的总费用为y(万元)．
(1) 求南京园到柏油路的最短距离d1关于θ的表达式； (2) 求y的最小值及此时tan θ的值．
19. (本小题满分16分)
x2y2
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右准线方程为直线x＝2，且两焦
ab点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 假设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．
→
① 若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连结OM并延长交椭圆C于点N，且ON＝6→
OM，求OB的长； 2
45→→
② 若原点O到直线l的距离为1，并且OA·OB＝λ，当≤λ≤时，求△OAB的面积S的
56范围．
江苏省扬州市2024届高三上学期期中考试+数学+Word版含答案
