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待定系数法全攻略
作者：朱 光 陈玉英
来源：《数学金刊·初中版》2009年第11期
初中阶段需要掌握的数学方法有:待定系数法、配方法、换元法、判别式法等. 对于这些数学方法的考查,在各类数学试题中常考常新,应引起高度重视. 以下结合具体例子,谈谈待定系数法的几点应用.
待定系数法是一种求未知数的方法. 对于某些数学问题,如果已知所求结果具有某种确定的形式,则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果,利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数,从而得到所求结论. 从更广泛的意义上说,待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数,利用已知条件确定这些未知数,使问题得到解决的方法. 求函数的表达式,把一个有理分式分解成几个简单分式的和,多项式的因式分解等,都可用这种方法. 1. 用待定系数法分解因式
例题1分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
解析由于x2+3xy+2y2=(x+2y)·(x+y),若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,因此设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)·(x+y+n),将等号右边展开得x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn.
比较两边对应项的系数,则有m+n=4,m+2n=5,mn=3. 解之得m=3,n=1.所以原式=(x+2y+3)(x+y+1).
点评先把多项式分解成系数待定的几个因式的积,根据因式分解与整式乘法的互逆性,把几个因式相乘,令所得多项式与已知多项式恒等,按多项式恒等的条件——对应项系数相等,列出方程组,通过解方程组求出待定系数,从而完成因式分解. 这种方法要比单纯地进行分拆配凑更具有一般性,应认真体会.
2. 用待定系数法求异分母分式的和与差 例题2计算:■-■-■.
解析注意到上述三个分式的分母存在相同的因式,故可考虑分别将其分解后再进行计算. 为此设■= ■+■=■.
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