例2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点 F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范 围； （4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由． 例3. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S?表示矩形NFQC的面积． （1） S与S?相等吗？请说明理由． （2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE，当AE为何值时，?ABE是等腰三角形． AEBDPHADxEPHCNFQMGBMNFCQG图10 图11 练习1.如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ． （1）点 （填M或N）能到达终点； （2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大； （3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由． 练习2. 实验与探究 （1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1，2，3 OMPAxQCyNB图12 2)， ， ； 中的顶点C的坐标，它们分别是(5，y B(1，2) y C D(4，0) y B(c，d) B(c，d) C x C x O (A) 图1 x O (A) 图2 D(e，0) O A(a，b) D(e，b) 图3 （2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）； y B(c，d) C D(e，f) A(a，b) O 图4 x 归纳与发现 （3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)（如图4）时，则四个顶 点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为 ；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为 （不必证明）； 运用与推广 15??19?，（4）在同一直角坐标系中有抛物线y?x2?(5c?3)x?c和三个点G?0)（其?c，c，S???c，c?H(2c，?22??22?中c?0）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？ 并求出所有符合条件的P点坐标． 参考答案： 一．二次函数与四边形的形状 例1.解：（1）令y=0，解得x1??1或x2?3∴A（-1，0）B（3，0）； 将C点的横坐标x=2代入y?x?2x?3得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（(x,x2?2x?3)∵P点在E点的上方，PE=(?x?1)?(x2?2x?3)??x2?x?2 ∴当x?291时，PE的最大值= 42（3）存在4个这样的点F，分别是F1(1,0),F2(?3,0),F3(4?7，0),F4(4?7,0) 练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是x?式，得 72?a(6?)?k?0,225? 解之，得a?,k??. ?2?36?a(0?7)2?k?4.??2772，可设解析式为y?a(x?)?k．把A、B两点坐标代入上22y x?B(0,47 2故抛物线解析式为y?2725(x?)2?，顶点为(7,?25). 32626O E F A(6,（2）∵点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 2725y?(x?)2?， 326x ∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是YOEAF的对角线， ∴S?2SVOAE?2??OA?y??6y??4(?)?25． 因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是1＜x＜6． 71① 根据题意，当S = 24时，即?4(x?7)2?25?24．化简，得(x?)2?. 解之，得x1?3,x2?4. 242故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）． 点E1（3，－4）满足OE = AE，所以YOEAF是菱形； 点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以YOEAF不是菱形． ② 当OA⊥EF，且OA = EF时，YOEAF是正方形，此时点E的 ③ 坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E， 使YOEAF为正方形． 12722y 5 4 3 2 1 O ?1?1 ?2 ?3 ?4 ?5 E l2 A 1 2 B 3 4 5 x C? 2l1 ?4)．设l2的函数关系式为y?a(x?3)?4． 练习2.解：（1）由题意知点C?的坐标为(3，又Q点A(1，0)在抛物线y?a(x?3)?4上，?(1?3)a?4?0，解得a?1． 22?抛物线l2的函数关系式为y?(x?3)2?4（或y?x2?6x?5）． （2）QP与P?始终关于x轴对称， ?PP?与y轴平行． 设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m2?6m?5，即m2?6m?5??2．当QOD?4，?2m2?6m?5?4， ?当点P运动到(3?6，解得m?3?6．当m2?6m?5??2时，解得m?3?2．m2?6m?5?2时，2)或(3?6，?2)或(3?2，2)或(3?2，?2)时， ∥OD，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形． P?P y5 D2 1 Cl2（3）满足条件的点M不存在．理由如下：若存在满足条件的点M在l2上，3 则 oo?AMB?90o，Q?BAM?30（或?ABM?30）， 11?BM?AB??4?2． 22过点M作ME?AB于点E，可得?BME??BAM?30o． 11?EB?BM??2?1，EM?3，OE?4． 22?1O?1?2?31 2 AE3 4 B5 xMC?l1?3)． ?点M的坐标为(4，但是，当x?4时，y?4?6?4?5?16?24?5??3??3． 2?4?5?不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形． 练习3. 解（1）点A(?4，8)关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，0)，点B(?2，0)，点E(0，F(0，?8)． 设抛物线C2的解析式是 ?16a?4b?c?0，，?a??1?解得 y?ax?bx?c(a?0)，则??4a?2b?c?0，?b?6，?c??8．?c??8．??2所以所求抛物线的解析式是y??x?6x?8． （2）由（1）可计算得点M(?3，?1)，N(31)，． 过点N作NH?AD，垂足为H． 当运动到时刻t时，AD?2OD?8?2t，NH?1?2t． ，OM?ON，根据中心对称的性质OA?OD所以四边形MDNA是平行四边形．所以S?2S△ADN．所以，四边形MDNA的面积 2S?(8?2t)(1?2t)??4t2?14t?8． 因为运动至点A与点D重合为止， 据题意可知0≤t?4．所以，所求关系式是S??4t?14t?8，t的取值范围是0≤t?4． （3）S??4?t?2 ??7?81781?t?，（）．所以时，有最大值． S0≤t?4?4?444提示：也可用顶点坐标公式来求． （4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，所以当AD?MN时四边形MDNA是矩形．所以OD?ON．所以 OD2?ON2?OH2?NH2． 所以t2?4t2?2?0．解之得t1?6?2，t2??6?2（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t?6?2． [点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。 二．二次函数与四边形的面积 12 x+x-4， 2令y=0，求出x1=-4,x2=2；令x=0，得y=-4，∴ A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4)例1. 解：（1）解法一：设y?ax?bx?c(a?0)，任取x,y的三组值代入，求出解析式y=2 ··································· 55解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，-)可知， 22抛物线P的对称轴方程为x=-1， 又∵ 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知， 点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .
中考数学二次函数与四边形综合专题
