二次函数与四边形综合专题
一．二次函数与四边形的形状
例1. 如图，抛物线y?x?2x?3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； （3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）令y=0，解得x1??1或x2?3∴A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入y?x?2x?3 得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：
P（x，-x-1），E（(x,x2?2x?3)
∵P点在E点的上方，PE=(?x?1)?(x2?2x?3)??x2?x?2
2219∴当x?时，PE的最大值=
24（3）存在4个这样的点F，分别是F,0),F2(?3,0),F3(4?7，0),F4(4?7,0) 1(1
A
练习1.如图，对称轴为直线x?7的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）． 2（1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
y
7x?
2B(0,4) F O E A(6,0) x
练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是x?式，得
7?a(6?)2?k?0,? 解之，得a?2,k??25. ?2?36?a(0?7)2?k?4.??2772，可设解析式为y?a(x?)?k．把A、B两点坐标代入上22y x?7 2B(0,426故抛物线解析式为y?2(x?7)2?25，顶点为(7,?25).
326F O A(6,E （2）∵点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
2725y?(x?)2?，∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离． 326x ∵OA是YOEAF的对角线，
∴S?2SVOAE?2?1?OA?y??6y??4(?7)2?25．
22因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是1＜x＜6． ①根据题意，当S = 24时，即?4(x?7)2?25?24．化简，得(x?7)2?1. 解之，得x1?3,x2?4.故所
224求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，所以YOEAF是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以YOEAF不是菱形．
② 当OA⊥EF，且OA = EF时，YOEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．而坐标为 （3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使YOEAF为正方形．
0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C(3，4)，抛物线l2与l1关于x轴对练习2.如图，已知与x轴交于点A(1，称，顶点为C?．
（1）求抛物线l2的函数关系式；
（2）已知原点O，定点D(0，4)，l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． y 5 4 3 2 1 A 1 2 ?1 1 ?O?2 ?3 ?4 ?5 oy 5 4 3 2 1 E l2 E l2 B 3 4 5 x C? l1 ?1 O ?1?2 ?3 ?4 ?5 A 1 2 B 3 4 5 x C? l1
练习3. 如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4，8)． 0)，B(?2，0)，E(0，（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；
与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
2
二．二次函数与四边形的面积
例1.如图10，已知抛物线P：y=ax+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x y … … -3 5- 2-2 -4 1 5- 22 0 … … (1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.
图10
练习1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
练习2.如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A?D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm．
（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；
（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围；
（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．
2B P
O Q
C
A B
D P
C
O
A
Q D
3
y
2
1 O
1 2 x
练习3. 如图，已知抛物线l1：y=x-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D. (1) 求l2的解析式；
(2) 求证：点D一定在l2上；
(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值 .
2
三．二次函数与四边形的动态探究
例1.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
yCEOFBDP图1
yCDBEFAxOP图2
Ax
中考数学二次函数与四边形综合专题
