二次函数与四边形综合专题
一.二次函数与四边形的形状
例1. 如图,抛物线y?x?2x?3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值; (3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
解:(1)令y=0,解得x1??1或x2?3∴A(-1,0)B(3,0);将C点的横坐标x=2代入y?x?2x?3 得y=-3,∴C(2,-3)∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 (2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E的坐标分别为:
P(x,-x-1),E((x,x2?2x?3)
∵P点在E点的上方,PE=(?x?1)?(x2?2x?3)??x2?x?2
2219∴当x?时,PE的最大值=
24(3)存在4个这样的点F,分别是F,0),F2(?3,0),F3(4?7,0),F4(4?7,0) 1(1
A
练习1.如图,对称轴为直线x?7的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4). 2(1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; ①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
y
7x?
2B(0,4) F O E A(6,0) x
练习1.解:(1)由抛物线的对称轴是x?式,得
7?a(6?)2?k?0,? 解之,得a?2,k??25. ?2?36?a(0?7)2?k?4.??2772,可设解析式为y?a(x?)?k.把A、B两点坐标代入上22y x?7 2B(0,426故抛物线解析式为y?2(x?7)2?25,顶点为(7,?25).
326F O A(6,E (2)∵点E(x,y)在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合
2725y?(x?)2?,∴y<0,即 -y>0,-y表示点E到OA的距离. 326x ∵OA是YOEAF的对角线,
∴S?2SVOAE?2?1?OA?y??6y??4(?7)2?25.
22因为抛物线与x轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以,自变量x的取值范围是1<x<6. ①根据题意,当S = 24时,即?4(x?7)2?25?24.化简,得(x?7)2?1. 解之,得x1?3,x2?4.故所
224求的点E有两个,分别为E1(3,-4),E2(4,-4).
点E1(3,-4)满足OE = AE,所以YOEAF是菱形;
点E2(4,-4)不满足OE = AE,所以YOEAF不是菱形.
② 当OA⊥EF,且OA = EF时,YOEAF是正方形,此时点E的坐标只能是(3,-3).而坐标为 (3,-3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点E,使YOEAF为正方形.
0)和B(5,0)的抛物线l1的顶点为C(3,4),抛物线l2与l1关于x轴对练习2.如图,已知与x轴交于点A(1,称,顶点为C?.
(1)求抛物线l2的函数关系式;
(2)已知原点O,定点D(0,4),l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称,则当点P运动到何处时,以点D,O,P,P?为顶点的四边形是平行四边形?
(3)在l2上是否存在点M,使△ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形?若存,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. y 5 4 3 2 1 A 1 2 ?1 1 ?O?2 ?3 ?4 ?5 oy 5 4 3 2 1 E l2 E l2 B 3 4 5 x C? l1 ?1 O ?1?2 ?3 ?4 ?5 A 1 2 B 3 4 5 x C? l1
练习3. 如图,已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4,8). 0),B(?2,0),E(0,(1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式;
(2)设抛物线C1的顶点为M,抛物线C2与x轴分别交于C,D两点(点C在点D的左侧),顶点为N,四边形MDNA的面积为S.若点A,点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;
与此同时,点M,点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点A与点D重合为止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式,并写出自变量t的取值范围; (3)当t为何值时,四边形MDNA的面积S有最大值,并求出此最大值;
(4)在运动过程中,四边形MDNA能否形成矩形?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由.
2
二.二次函数与四边形的面积
例1.如图10,已知抛物线P:y=ax+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下: x y … … -3 5- 2-2 -4 1 5- 22 0 … … (1) 求A、B、C三点的坐标;
(2) 若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值范围;
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时,连接DF并延长至点M,使FM=k·DF,若点M不在抛物线P上,求k的取值范围.
图10
练习1.如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).
(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C); (2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
(4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.
练习2.如图,正方形ABCD的边长为2cm,在对称中心O处有一钉子.动点P,Q同时从点A出发,点P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度运动,到点C停止,点Q沿A?D方向以每秒1cm的速度运动,到点D停止.P,Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm.
(1)当0≤x≤1时,求y与x之间的函数关系式; (2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求x值;
(3)当1≤x≤2时,求y与x之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围;
(4)当0≤x≤2时,请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象.
2B P
O Q
C
A B
D P
C
O
A
Q D
3
y
2
1 O
1 2 x
练习3. 如图,已知抛物线l1:y=x-4的图象与x轴相交于A、C两点,B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合),抛物线l2与l1关于x轴对称,以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D. (1) 求l2的解析式;
(2) 求证:点D一定在l2上;
(3) □ABCD能否为矩形?如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由. 注:计算结果不取近似值 .
2
三.二次函数与四边形的动态探究
例1.如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.
(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;
(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.
yCEOFBDP图1
yCDBEFAxOP图2
Ax
中考数学二次函数与四边形综合专题
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