围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．
(2020·河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，
1
若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为( )
2
A．－2 C．－1
B．3－3 D．0
1π→→→
解析：选B.由|a|＝|b|＝1，a·b＝，可得〈a，b〉＝，令OA＝a，OB＝b，以OA的
233?→→?1
方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝OA＝(1，0)，b＝OB＝?，?，
?22?→
设c＝OC＝(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·cπ?13?＝3－(cos θ＋cos θ＋sin θ)＝3－3sin?θ＋?，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为
3?22?3－3，故选B.
[基础题组练]
1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( ) 3
A．－
25C. 3
5B．－
33D． 2
解析：选A.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，
b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－.
2．(2020·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝( )
A.6
B.5
32
C．2
2
D．3
解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝a＋2a·b＋b＝1＋1＋4＝6.故选A.
3．(2020·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
4A．－ 53C. 5
3B．－
54D． 5
2
2
解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，
???2－2x＝0?x＝1a·b所以?，解得?，故b＝(1，－2)，|b|＝5，|a|＝25，cos〈a，b〉＝
|a||b|?4－2y＝8?y＝－2??
＝
3
＝－，故选B.
55×25
4．(2020·四川资阳第一次模拟)已知向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝m|a|，若a＋b2－8
2π
与a－b的夹角为，则m的值为( )
3
A．2 C．1
B.3 1D． 2
2
解析：选A.因为a·b＝0，所以|a＋b|＝|a－b|，因为|a＋b|＝m|a|，所以(a＋b)＝
m2a2，所以a2＋b2＝m2a2，所以b2＝(m2－1)a2.
2π（a＋b）·（a－b）2π
又a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos，
3|a＋b||a－b|3
a2－b2a2－（m2－1）a22－m21
所以22＝＝2＝－. 22
mamam2
解得m＝2或m＝－2(舍去)．故选A.
5．(2020·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边
AC的中线BD上，则CP·BP的最小值为( )
1A．－ 2C．4
B．0 D．－1
→→
解析：选A.依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为
→→
点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以CP＝(t，2－t)，BP＝(t，1?211→→2→→?2
－t)，所以CP·BP＝t－t(2－t)＝2t－2t＝2?t－?－，当t＝时，CP·BP取得最小值
2?2?21
－，故选A. 2
6．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝ ．
解析：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－5)， 22
所以cos〈a，c〉＝＝. 1×4＋532答案： 3
→→→→
7．已知点M，N满足|MC|＝|NC|＝3，且|CM＋CN|＝25，则M，N两点间的距离为 ． →→2→2→2→→→→→→解析：依题意，得|CM＋CN|＝|CM|＋|CN|＋2CM·CN＝18＋2CM·CN＝20，则CM·CN＝→→→
1，故M，N两点间的距离为|MN|＝|CN－CM|
＝
→2→2→→|CN|＋|CM|－2CN·CM
＝9＋9－2＝4. 答案：4
8．(2020·山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中|a|＝3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是 ，a·(a＋b)＝ ．
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|－a·b＝|a|－|a||b|cos θ＝3－23·cos θ＝0，解得cos θ＝
2
2
3
.2
π32
又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|＋|a|·|b|·cos θ＝3＋23×＝
626.
π
答案： 6
6
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小． 解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)． 由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0， 解得x＝7，即b＝(1，7)， 所以|b|＝50＝52.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)， 故x＝－3， 所以b＝(1，－3)，
a·b（2，－1）·（1，－3）2
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
|a||b|25×10
因为〈a，b〉∈[0，π]， π
所以a与b夹角是.
4
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；
→→
(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积． 解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4|a|－4a·b－3|b|＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，
所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，
2
2
a·b－61
所以cos θ＝＝＝－. |a||b|4×32
2π
又0≤θ≤π，所以θ＝. 3(2)|a＋b|＝(a＋b) ＝|a|＋2a·b＋|b|
＝4＋2×(－6)＋3＝13，所以|a＋b|＝13. 2π→→
(3)因为AB与BC的夹角θ＝，
3
2
2
2
2
2
2
2ππ
所以∠ABC＝π－＝. 33→→
又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3， 13
所以S△ABC＝×4×3×＝33.
22
[综合题组练]
→→→
1．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知O是△ABC内部一点，且满足OA＋OB＋OC＝0，→→
又AB·AC＝23，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )
A.3 2
B．3 D．2
C．1
1→→→→→→→
解析：选C.由AB·AC＝23，∠BAC＝60°，可得AB·AC＝|AB|·|AC|cos ∠BAC＝·|AB21→→→→→→→→
||AC|＝23，所以|AB||AC|＝43，所以S△ABC＝|AB||AC|sin∠BAC＝3，又OA＋OB＋OC＝0，
21
所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1，故选C.
3
2．(2020·河北衡水中学期末)在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且MA＝MB＝
MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，若点N在线段CD(端点C，D除外)上运动，则NA·NB的取值范
围是( )
A．[－1，0) C．[－1，1)
→→
?3?B.?－，0? ?4??1?D．?－，1? ?2?
→→→→→→→2→2→2
解析：选B.连接MN.由题意得NA·NB＝(MA－MN)·(MB－MN)＝MN－MA＝|MN|－1.在△MCN中，MC＝1，∠MCN＝30°，所以MN＝1＋NC－2×NC×1×
2
2
2
32
＝NC－3NC＋1，所以2
3?23?
MN－1＝NC－3NC＝?NC－?－.由MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，可得CD＝3，又点N42??
2
2
在线段CD(端点C，D除外)上运动，所以0＜NC＜3.
3→→?3?2
所以－≤MN－1＜0，即NA·NB的取值范围是?－，0?.故选B.
4?4?
3．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0. 2
2
C
2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例教案文新人教A版
