2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例教案文新人教A版

ππ，即＝. 33

→→→

(2)因为BC＝AC－AB＝(1－x，1)，

→2→→22

所以|BC|＝(1－x)＋1＝5，即x－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍)．设AB，AC的夹角为θ，则cos θ＝

2π＝，所以θ＝.

→→24|AB||AC|

AB·AC→→

【答案】 (1)B (2)C

求向量夹角问题的方法

(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．

(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝角度二 求平面向量的模

(1)(一题多解)(2020·唐山市摸底考试)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋

x1x2＋y1y2

. 2222

x1＋y1·x2＋y2

e2|＝3，则|e1－e2|＝ ．

(2)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝ ，则当t∈[－3，2]时，|a－tb|的取值范围是 ．

【解析】 (1)法一：|e1＋e2|＝3，两边平方，得e1＋2e1·e2＋e2＝3，又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|＝e1－2e1·e2＋e2＝1，所以|e1－e2|＝1.

2

2

22

2

→→→→

法二：如图，设AB＝e1，AD＝e2，又e1，e2是单位向量，所以|AB|＝|AD|＝1，以AB，

AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以AC＝e1＋e2，DB＝e1－e2，因为|e1＋e2|＝3，

→→

即|AC|＝3，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|DB|＝1，即|e1－e2|＝1.

(2)向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝2＋1

2

2

→→

＝5.

|a－tb|＝a＋tb－2ta·b＝5t＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；当t＝2时，最大值为25.即|a－tb|的取值范围是[5，5]．

【答案】 (1)1 (2)5 [5，5]

求向量模长的方法

利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a＝a·a＝|a|或|a|＝a·a； (2)|a±b|＝（a±b）＝a±2a·b＋b； (3)若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y. 角度三 两平面向量垂直问题

→→→→→→→→

已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP→

⊥BC，则实数λ的值为 ．

→→→→

【解析】 因为AP⊥BC，所以AP·BC＝0. →→→→→→又AP＝λAB＋AC，BC＝AC－AB， →→→→

所以(λAB＋AC)·(AC－AB)＝0， →→→2→2

即(λ－1)AC·AB－λAB＋AC＝0，

→→

所以(λ－1)|AC||AB|cos 120°－9λ＋4＝0. 7?1?所以(λ－1)×3×2×?－?－9λ＋4＝0.解得λ＝. 12?2?【答案】

7

12

两向量垂直的应用

两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|. [注意] 若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.

1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，则|a＋2b|＝( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

A．22 C.17

B．25 D．15

2

2

2

解析：选C.因为a－b＝(3，2)，所以|a－b|＝5，所以|a－b|＝|a|－2a·b＋|b|

2

2

2

＝5－2a·b＝5，则a·b＝0，所以|a＋2b|＝|a|＋4a·b＋4|b|＝17，所以|a＋2b|＝17.故选C.

→→→→→

2．已知在四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是( ) A．矩形 C．菱形

B．正方形 D．梯形

→→→→→

解析：选C.因为AB＋CD＝0，所以AB＝－CD＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．又→→→→→

(AB－AD)·AC＝DB·AC＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．

向量数量积的综合应用(师生共研)

(2020·广州海珠区摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m3

＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.

5

(1)求sin A的值；

→→

(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影． 3

【解】 (1)由m·n＝－，

5

3

得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，

53

所以cos A＝－.因为0

5所以sin A＝1－cosA＝

2?3?41－?－?＝. ?5?5

2

45×5abbsin A2

(2)由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则

sin Asin Ba4222π?3?B＝，由余弦定理得(42)＝52＋c2－2×5c×?－?，解得c＝1.

4?5?

→→

故向量BA在BC方向上的投影为

22→

|BA|cos B＝ccos B＝1×＝.

22

平面向量与三角函数的综合问题

(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

(2020·石家庄模拟)已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的

角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝sin 2C.

(1)求角C的大小；

→→→

(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求边c的长． 解：(1)由已知得m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)， 因为A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C， 1

所以sin 2C＝sin C，所以cos C＝.

2π

又0＜C＜π，所以C＝.

3(2)由已知及正弦定理得2c＝a＋b. →→→→→

因为CA·(AB－AC)＝CA·CB＝18， 所以abcos C＝18，所以ab＝36.

由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝(a＋b)－3ab， 所以c＝4c－3×36， 所以c＝36，所以c＝6.

思想方法系列9 函数思想与数形结合思想在数量积中的应用

→→→

已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的

最小值是( )

22

2

2

2

2

2

A．－2 4C．－

3

3B．－

2D．－1

【解析】 法一：结合题意画出图形，如图(1)所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，→→→

连接AD，PE，PD，则有PB＋PC＝2PD，

2

→→→→→→→→→→2→2→2?3?3则PA·(PB＋PC)＝2PA·PD＝2(PE＋EA)·(PE－EA)＝2(PE－EA)．而EA＝??＝，

?2?4→2→→→

当点P与点E重合时，PE有最小值0，故此时PA·(PB＋PC)取得最小值，最小值为－33→2

2EA＝－2×＝－.

42

法二：如图(2)，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线→

为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA＝(－

x，3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，所以PA·(PB＋PC)＝(－x，3－y)·(－

33?23?→→→

2x，－2y)＝2x＋2?y－?－，当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，最小值为

222??

2

→→→→→

3

－. 2

【答案】 B

平面向量中有关最值(或取值范围)

问题的两种求解思路

一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范